Vibration d'une étoile

Partie: Electronique

niveau: PTSI

La surface d'une étoile est animée d'un mouvement de vibration qui renseigne sur sa composition. La fréquence de vibration d'une étoile dépend de plusieurs paramètres. La cohésion d'une étoile étant assurée par les forces de gravitation, on s'attend à devoir faire intervenir :

• Le rayon $R$ de l'étoile

• La masse $M_e$ de l'étoile

• La constante $\mathcal{G}$ de gravitation universelle.

Question:

Déterminer $a, b, c$ dans l'expression de la fréquence de vibration $f$ en fonction de $R$, $M_e$ et $\mathcal{G}$ :

$$\begin{aligned} f = kR^a M_e^b \mathcal{G}^c \end{aligned}$$

où $k$ est une constante de proportionnalité sans dimension.

Réponse

On procède par analyse dimensionnelle. On a $[f] = T^{-1} = L^{a} M ^b L^{3c}M^{-c}T^{-2c}$. On utilise pour cela le fait que $[\mathcal{G}] = L^3.M^{-1}.T^{-2}$. L'équation aux dimension donne :

$$\begin{aligned} T^{-1} = L^{a+3c}.M^{b-c}.T^{-2c} \end{aligned}$$

soit $c=1/2$, $b=1/2$ et $a=-3/2$. On en déduit :

$$\begin{aligned} f = k\sqrt{\dfrac{M_e\mathcal{G}}{R^3}} \end{aligned}$$

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Question:

On observe le spectre ci dessous pour le soleil. Que vaut environ $f$ en première approximation ?

Réponse

La pic principal se situe à environ $f_{exp}\approx \text{3,1} mHz$.

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Question:

En déduire la valeur du coefficient de proportionnalité $k$.

Réponse

Il convient de réaliser l'A.N. : $k = f\sqrt{\dfrac{R^3}{M_e \mathcal{G}}} \approx 4,9$

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Données :\ $G = \text{6.67e-11} SI$\ $R_s = \text{695 000} km$\ $M_s = \text{2.0e33} g$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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