Filtre inconnu

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Un dipôle est constitué d'une résistance, d'une inductance et d'une capacité. Ces trois composants sont répartis de manière inconnue entre $D_1$ et $D_2$ .

Si on alimente le circuit avec une tension continue $E=\text{15} V$ , on mesure $i=\text{15} mA$ . Si on alimente le circuit avec une tension sinusoïdale, on s'aperçoit qu'il s'agit d'un filtre passe-bande de fréquence de résonance $f_0=\text{1,16} kHz$ et de bande passante à $-3$ dB de $\text{0,34} kHz$ .

Question:

Déterminez la structure complète du circuit et les valeurs numériques de $R$ , $L$ et $C$ .

Réponse

Reprenons les hypothèses de l'énoncé :

En régime permanent $i=\text{15} mA$ alors qu'un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime continu. On en déduit que ni $D_1$ ni $D_2$ ne peut être constitué d'un condensateur seul, c'est à dire que $C$ n'est pas sur la branche principale mais en dérivation avec $R$ ou $L$ dans $D_1$ ou $D_2$ .

Le filtre constitué est un passe bande, ce qui signifie que la tension aux bornes de $D_2$ doit s'annuler en basses fréquences et hautes fréquences. $D_2$ doit donc équivalent à un interrupteur fermé en hautes fréquences et en basses fréquences, il ne peut s'agir ni de $R$ seule ni de $R$ en parallèle avec $C$ ni de $L$ seul.

Le seul circuit possible est donc celui représenté ci-dessous :

On vérifie le comportement asymptotique.

Pour déterminer la valeur de $R$ , on applique la loi de Pouillet au circuit en régime continu :

$\begin{aligned} i=\dfrac{E}{R} \Rightarrow R=\dfrac{E}{i}=\dfrac{15}{15.10^{-3}}=1000 \ \Omega \end{aligned}$

On exprime ensuite la fréquence de résonance et la bande passante en fonction de $R$ , $L$ et $C$ .

Pour cela, il faut déterminer $\omega_0$ et $Q$ la pulsation de résonance et le facteur de qualité du filtre.

On calcule donc la fonction de transfert $\underline{H}$ du filtre puis on identifie avec une forme canonique.

Sur la figure ci-dessus à droite, on reconnaît un pont diviseur de tension pour lequel $\underline{Y}_2=\dfrac{1}{\underline{Z}_2}=\dfrac{1}{jL\omega}+jC\omega$ et

$\begin{aligned} \underline{u}_s=\dfrac{\underline{Z}_2}{R+\underline{Z}_2}\underline{u}_e =\dfrac{1}{R.\underline{Y}_2+1}\underline{u}_e \Rightarrow \underline{H}=\dfrac{1}{1+\dfrac{R}{jL\omega}+jRC\omega}=\dfrac{1}{1+jQ(x-\dfrac{1}{x})} =\dfrac{1}{1+jQ(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega})} \end{aligned}$

avec par identification $\dfrac{Q}{\omega_0}=RC \Rightarrow Q=RC\omega_0$ et $Q\omega_0=\dfrac{R}{L}$ d'où $RC\omega_0^2=\dfrac{R}{L} \Rightarrow \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=RC\omega_0=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ .

Pour un filtre passe bande, $\Delta \omega=\dfrac{\omega_0}{Q}$ et ici, on en déduit $<span><span class="MathJax_Preview">\Delta \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\dfrac{\sqrt{L}}{R\sqrt{C}}=\dfrac{1}{RC} \Rightarrow C=\dfrac{1}{R.\Delta \omega}=\dfrac{1}{2\pi \Delta f} \simeq 468 \text{ nF puis } \omega_0^2=\dfrac{1}{LC} \Rightarrow L=\dfrac{1}{4\pi^2f_0^2C}\simeq 40 \text{ mH}</span><script type="math/tex">\Delta \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\dfrac{\sqrt{L}}{R\sqrt{C}}=\dfrac{1}{RC} \Rightarrow C=\dfrac{1}{R.\Delta \omega}=\dfrac{1}{2\pi \Delta f} \simeq 468 \text{ nF puis } \omega_0^2=\dfrac{1}{LC} \Rightarrow L=\dfrac{1}{4\pi^2f_0^2C}\simeq 40 \text{ mH}$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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