Circuit $RL$ comportant deux générateurs

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Les générateurs sont allumés depuis longtemps et à l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Question:

Déterminer et tracer l'allure de la tension $u(t)$ aux bornes de la bobine .Pour vous aider, vous pouvez utiliser le lemme suivant (équivalence entre générateurs de Thévenin et de Norton) :

Réponse

On obtient l'équation différentielle en écrivant la loi des mailles :

$E_\text{eq}-Ri(t)-u(t)=$ avec $u(t)=L.\dfrac{di(t)}{dt}$ d'où $\dfrac{di(t)}{dt}+\dfrac{i(t)}{\tau}=\dfrac{E_\text{eq}}{R\tau}$ avec $\tau=\dfrac{L}{R_\text{eq}}$.

La solution est de la forme $i(t)=\dfrac{E_\text{eq}}{R}+A.e^{-\dfrac{t}{\tau_\text{eq}}}=\dfrac{2E}{3R}+A.\exp(-3Rt/L)$ mais pour déterminer la constante d'intégration à l'aide de la condition initiale, il faut se ramener au circuit de départ.

Pour $t<0$, comme les générateurs étaient allumés depuis longtemps, le régime permanent était atteint, et le circuit était équivalent à celui représenté ci-dessous dans lequel on à remplacé la bobine par un interrupteur fermé.

Pour la condition initiale :

Une loi des mailles dans la maille de droite donne $0-Ri-E=0$ soit $i=\dfrac{E}{R}$ jusqu'à $O^-$.

Par continuité de l'intensité qui traverse une bobine, $i(0^-)=\dfrac{E}{R}=i(0^+)=A+\dfrac{2E}{3R}$ d'où $i=\dfrac{E}{3R}$ et finalement $i=\dfrac{E}{3R}(2+\exp(-3t/RL))$.

On en déduit ensuite $u=L.\dfrac{di(t)}{dt}=L.\dfrac{E}{3}.\dfrac{-3}{RL}\exp(-3t/RL)=-\dfrac{E}{3}\exp(-3t/RL)$

On effectue le tracé en indiquant la valeur de $u(t)$ à $t=0$, l'asymptote et la tangente à l'origine.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard