Éolienne

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

On s'intéresse dans cette partie au fonctionnement d'une éolienne constituée d'une hélice à deux pâles et schématisée sur la figure ci-dessous. On représente sur ce schéma un tube de courant.

Pour l'étude, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on néglige la pesanteur. On suppose un régime permanent établi. L'air est considéré comme un fluide parfait et incompressible, de masse volumique $\rho$ et de débit massique $D$. La figure fait apparaître un tube de courant d'air traversant l'hélice.

La pression à grande distance de l'hélice, à savoir au niveau des surfaces d'entrée $\Sigma_1$ et de sortie $\Sigma_2$ de sections respectives $S_1$ et $S_2$, est égale à la pression atmosphérique $P_0$

La pression est uniforme sur une section droite du tube de courant. On note $P_A$ et $P_B$ les pressions au niveau des surfaces $\Sigma_A$ et $\Sigma_B$ de sections $S_A$ et $S_B$. On suppose $S_A =S_B =S$ et on admet que $v_A=v_B=v$.

Question:

Déterminer une relation entre $S_1$, $S_2$, $v_1$ et $v_2$.

Réponse

On a par conservation du débit volumique $\vec S_1 \cdot \vec v_1 = \vec S_2 \cdot \vec v_2$. Les surfaces de contrôles étant orienté dans le sens du mouvement, on en déduit $S_1 v_1 = S_2 v_2$.

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Question:

Exprimer $P_A$ en fonction de $P_0$, $\rho$, $v_1$ et $v$. Idem pour $P_B$ en fonction de $P_0,v_2,v$ et $\rho$.

Réponse

On peut appliquer le théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant (la ligne centrale) :

$$\begin{aligned} P_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = P_1 + \rho g z_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 \end{aligned}$$

On sait que $Z_A = Z_1$ d'où l'on déduit :

$$\begin{aligned} P_A = P_0 + \dfrac{1}{2}\rho \left( v_1^2 - v^2 \right) \end{aligned}$$

Par le même raisonnement, on trouve $P_0 - P_B = \dfrac{1}{2}\rho (v^2-v_2^2) \Rightarrow P_B = P_0 + \dfrac{1}{2} \rho \left( v_2^2-v^2 \right)$

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Question:

Déterminer la force de pression exercée sur l'hélice en fonction de $\rho$, $S$, $v_1$ et $v_2$.

Réponse

Il suffit d'effectuer un bilan de pression entre les deux faces des pales

$$\begin{aligned} \vec F = (P_A S_B - P_B S_B) \vec i = (P_A-P_B) S \vec i = \dfrac{1}{2}\rho ( v_1^2 - v^2 + v^2 - v_2^2) S \vec i = \dfrac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)S \vec i \end{aligned}$$

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Question:

Montrer à l'aide d'un bilan de quantité de mouvement que $\vec{F}=D(v_1-v_2)\vec{i}$ où $D$ représente le débit massique d'air. En déduire une relation entre $v$, $v_1$ et $v_2$.

Réponse

A l'instant $t$, on a $\vec P(t) = \vec P_{int} + dx_1 \rho S_1 v_1 \vec i$ puis à l'instant $t'=t+dt$, on a $\vec P(t+dt) = \vec P_{int} + dx_2 \rho S_2 v_2 \vec i$. L'application du PFD à ce système fermé donne :

$$\begin{aligned} \vec P(t+dt) - \vec P(t) = \underbrace{-\vec F dt}_{\text{- car F exercé sur les pales}} + \underbrace{(P_2S_2-P_1S_1)}_{=0 }dt \Rightarrow (\dfrac{dx_2}{dt} \rho S_2v_2 - \dfrac{dx_1}{dt} \rho v_1 S_1 ) \vec i= -\vec F \end{aligned}$$

La résultante des forces de pression est bien nulle car $P=P_0$ uniforme à l'extérieur du tube de courant. Or on a $D = \rho S_1 v_1 = \rho S_2 v_2 = \rho S v$ d'où $\vec F = D(v_1 - v_2) \vec i$. On peut ensuite comparer les deux expressions pour la force $\vec F$ :

$$\begin{aligned} D(v_2 - v_1) = \dfrac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)S \Rightarrow \rho S v = \dfrac{1}{2} \rho (v_1+v_2) S \Rightarrow v = \dfrac{v_1+v_2}{2} \end{aligned}$$

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Question:

Exprimer la puissance reçue par l'hélice en fonction de $\rho$, $v_1$, $S$ et du rapport $x=v_2/v_1$ à l'aide d'un bilan d'énergie cinétique. Pour quelle valeur de $x$ cette puissance est-elle maximale ? Exprimer $\mathcal{P}_{max}$.

Réponse

Pour un système fermé, on a $\dfrac{\mathrm{d} E_c}{\mathrm{d} t} = -P_{fluide \to helice}$. Ici, on a $E_c(t+dt) - E_c(t) = \dfrac{1}{2}\rho v_2^2 dx_2 S_2 - \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 dx_1 S_1$ d'où l'on déduit :

$$\begin{aligned} P_{fluide \to helice} = \dfrac{1}{2} \rho \left( S_1 v_1^3 - S_2 v_2^3 \right) = \dfrac{1}{2} \rho S v \left( v_1^2 - v_2^2 \right) = \dfrac{1}{4}\rho S v_1^3 (1+x) (1-x^2) \end{aligned}$$

Cette puissance est maximale lorsque :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} \mathcal{P}}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow (-2x)(1+x) + (1-x^2) = 0 \Rightarrow 1-x = 2x \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$

On en déduit $\mathcal{P}_{\rm max} = \dfrac{\rho S}{4} v_1^3 \left( \dfrac{8}{9} \times \dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{8}{27} \rho S v_1^3$

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Question:

Le rendement théorique est défini par $\eta=\mathcal{P}/\mathcal{P}_c$ où $\mathcal{P}_c$ est la puissance cinétique en entrée de l'hélice. Déterminer $\eta$ en fonction de $x$. Calculer $\mathcal{P}_{max}$ et $\eta_{max}$. On donne $\rho=\text{1,3} kg.m^{-3}$, $v_1=\text{12} m/s$ et $S=\text{1,4} m^2$.

Réponse

La puissance cinétique représente l'énergie cinétique entrant dans le système pendant l'instant $dt$ soit $P_c = \dfrac{1}{2}S \dfrac{dx}{dt}\rho v_1^2 = \dfrac{1}{2} \rho S v v_1^2$. On en déduit :

$$\begin{aligned} \eta = \dfrac{\mathcal{P}}{P_c} = \dfrac{v_1 (1-x^2)(1+x)}{v_1 (1+x)} = 1-x^2 \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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