Super G

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Lors d'une descente de super G, le skieur, repéré par le point M de coordonnées $(x,y)$ dans le référentiel $\mathcal{R}(0,\vec{e}_{x},\vec{e}_{y},\vec{e}_{z})$, part du point $(0,d_{0})$ puis est astreint à suivre une trajectoire sinusoïdale de slalom entre des portes espacées d'une distance $L$ de manière à conserver à tout moment une vitesse dont la composante suivant $Ox$ est constante : $\dot{x}=v_{0}=\text{40} km.h^{-1}$.

Question:

La trajectoire se met sous la forme $y(x)=A\cos(Bx)$. Précisez la dimension (ou l'unité) de $A$ et celle de $B$.

Réponse

On a posé $y(x)=A.\cos (Bx)$ avec $[y]=$L : $y$ a la dimension d'une longueur donc $A$ également : $[A]=$L.

Le terme à l'intérieur de la fonction cosinus doit être sans dimension d'où $[Bx]=[B][x]=1$ avec $[x]=$L et finalement $[B]=$L$^{-1}$.

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Question:

Exprimez $A$ et $B$ en fonction de $d_0$ et $L$.

Réponse

On remarque sur la figure que $y(x)$ varie entre $-d_0$ et $d_0$ (valeur minimale et maximale). On en déduit $A=d_0$.

On remarque également que $y(x)$ est une fonction périodique de période $2L$ c'est à dire $y(x+2L)=y(x)$ pour tout $x$ soit\ $A.\cos(Bx)=A.\cos[B(x+2L)]=A.\cos(Bx+2\pi)$ et $\Rightarrow 2BL=2 \Rightarrow \boxed{B=\dfrac{\pi}{L}}$.

On vérifie la cohérence avec le résultat précédent.

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Question:

Déterminez l'expression de $x(t)$ puis $y(t)$.

Réponse

L'énoncé indique $\dot{x}=v_0$ constant d'où par intégration $x(t)=v_0t+x(0)$ où $x(0)=0$ est la valeur initiale de $x(t)$ soit $x(t)=v_0.t$. Et en reportant dans l'expression de $y(x)$, on en déduit $\boxed{y(t)=d_0.\cos (\dfrac{\pi v_0}{L}t)}$

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Question:

En déduire les expressions des vecteurs vitesse $\vec{v}(t)$ et accélération $\vec{a}(t)$ du skieur.

Réponse

Dans le système de coordonnées choisi, $\vec{v}(t)=\dot{x}(t).\vec{e}_x+\dot{y}(t).\vec{e}_y$ et $\vec{a}(t)=\ddot{x}(t).\vec{e}_x+\ddot{y}(t).\vec{e}_y$ d'où ici

$$\begin{aligned} \boxed{\vec{v}=v_0.\vec{e}_x-\dfrac{d_0\pi v_0}{L}.\sin (\dfrac{\pi v_0}{L}t) \vec{e}_y} \text{ et } \boxed{\vec{a}=-\dfrac{d_0\pi^2 v^2_0}{L^2}.\cos (\dfrac{\pi v_0}{L}t) \vec{e}_y} \end{aligned}$$

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Question:

Pour que le skieur reste en piste, il doit conserver à tout moment une accélération inférieure à $0,7g$. À quelle distance minimum $L_\text{min}$ doit-on placer les portes.

Réponse

La valeur maximale de l'accélération est $a_\text{max}=\dfrac{d_0\pi^2 v^2_0}{L^2}$.

On impose donc $\dfrac{d_0\pi^2 v^2_0}{L^2}<0,7 g \Rightarrow 0,7g L^2>d_0\pi^2 v^2_0 \Rightarrow \boxed{L>L_\text{min}=\pi v_0\sqrt{\dfrac{d_0}{0,7 g}}}$

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Question:

On donne $g=\text{9,8} m.s^{-2}$ et $d_0=\text{3} m$. Réalisez l'application numérique.

Réponse

On calcule $L_\text{min} \simeq \text{23} m$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard