Montée en température d'une résistance

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Un résistor électrique $R$, de capacité thermique $C$, est placé dans l'air de température $T_{0}$.\ Lorsque la température du résistor est $T>T_{0}$, on admet que le transfert thermique entre le résistor et l'air ambiant pendant une durée $dt$ est donné par la loi de Newton :

$$\begin{aligned} \delta Q = - aC(T-T_{0})dt \qquad \text{ où $a$ est une constante.} \end{aligned}$$

À la date $t=0$, le résistor étant à la température $T_{0}$, il est traversé par un courant électrique d'intensité $I$ constante.

Question:

Quelle est la dimension de la constante $a$ ?

Réponse

$CT$ est homogène à une énergie. On en déduit $[a]=T^{-1}$ (inverse d'un temps)

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Question:

En faisant un bilan énergétique sur une durée $dt$, montrer que l'on obtient l'équation différentielle

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} + a T = \dfrac{RI^2}{C_p} + a T_0 \end{aligned}$$

pour $T$, la température de résistor.

Réponse

Premier principe sur un temps $dt$ :

$$\begin{aligned} dU = \delta W + \delta Q = C dT \end{aligned}$$

On a d'après l'énonce $\delta Q = aC (T-T_0) dt$. Il reste donc à déterminer $\delta W$. Ici, il n'y a pas de travail des forces de pression (la résistance ne change pas de volume). Il reste donc à considérer le travail électrique. La résistance reçoit une puissance $U_i I$ et fournie une puissance $U_o I$ telle que $I (U_i-U_o) = RI^2$. On en déduit :

$$\begin{aligned} \delta W_{elec} = Ui dt = RI^2 dt \end{aligned}$$

En combinant ces résultats, on obtient :

$$\begin{aligned} & C dT = RI^2 dt - aC (T-T_0) dt \\ \Rightarrow & \boxed{\dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} + a T = \dfrac{RI^2}{C} + a T_0} \end{aligned}$$

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Question:

Identifiez la constante de temps $\tau$ du phénomène ainsi que la température $T_{\infty}$ atteinte par le résistor au bout d'une durée $t \gg \tau$.

Réponse

On obtient par identification $\tau=1/a$ (cohérent avec la dimension de $a$) et :

$$\begin{aligned} \boxed{T_{\infty} = T_0 + \dfrac{RI^2}{aC}} \end{aligned}$$

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Question:

Tracez l'allure de $T(t)$ pour $t \geq 0$ sans chercher à résoudre l'E.D.

Réponse

Il convient de tracer un régime transitoire du premier ordre donc la C.I. vaut $T_0$ et le régime asymptotique $T(t) \to T_{\infty}$.

Remarque :\ La résolution de l'équation différentielle du premier ordre donne:

$$\begin{aligned} T(t) = T_{\infty} + (T_0-T_{\infty}) e^{-at} \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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