Diffusion dans une sphère radioactive

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

Dans un réacteur nucléaire fonctionnant en régime stationnaire, on considère un boulet sphérique de rayon $R$ jouant le rôle de source de neutrons. Un processus de production fait apparaître $\sigma$ neutrons par unité de volume et de temps. On admet que $\sigma$ est constant à l'intérieur de la sphère et nul à l'extérieur. On notera $D$ la constante de diffusion des neutrons dans le réacteur.

Question:

Établir l'équation stationnaire vérifiée par $n(r)$ à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère.

Réponse

Il faut résoner sur une couronne sphérique. On obtient en régime stationnaire $dN = 0 = \Phi_i + \Phi_e + \sigma V$. En utilisant la loi de Fick, on obtient après calcul :

$$\begin{aligned} 0 = D \Delta n + \sigma(r) \Rightarrow D\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left( r^2\dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} r} \right) + \sigma(r) = 0 \end{aligned}$$

avec $\sigma(r>R)=0$.

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Question:

La résoudre complètement (il faudra prendre en compte plusieurs conditions limites à déterminer)

Réponse

A l'extérieur du milieu ($r>R$), on a $\Delta n=0$ soit

$$\begin{aligned} r^2 \dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} r}=a \Rightarrow n = -\dfrac{a}{r}+b \end{aligned}$$

où $a$ et $b$ sont des constantes d'intégrations à déterminer à l'aide des CIs.

A l'intérieur, on obtient après une double intégration :

$$\begin{aligned} r^2 \dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} r}= - \dfrac{\sigma}{D} \dfrac{r^3}{3} + c \Rightarrow n= -\dfrac{\sigma r^2}{6D}-\dfrac{c}{r}+d \end{aligned}$$

Il convient maintenant de prendre en compte les conditions limites suivantes :

• $n(0)$ est fini ($n$ ne diverge pas en $0$)

• $n$ est continue en $r=R$

• $n$ est dérivable en $r=R$ (continuité du flux de particule $j$)

• On peut supposer que $n\to 0$ lorsque $r \to +\infty$

On déduit de la première et de la dernière condition que $b=0$ et $c=0$. La continuité de $n$ et de sa dérivée en $r=R$ implique :

$$\begin{aligned} -\dfrac{\sigma R^2}{6D} +d &= -\dfrac{a}{R} \text{~~et~~} -\dfrac{\sigma R}{3D} = \dfrac{a}{R^2} \end{aligned}$$

Ce qui donne :

$$\begin{aligned} a=-\dfrac{\sigma R^3}{3D} \text{~~et~~} d=\sigma{R^2}\left( \dfrac{1}{6D} +\dfrac{1}{3D} \right) = \dfrac{\sigma R^2}{2D} \end{aligned}$$

soit au final :

$$\begin{aligned} n(r<R) = \sigma \left( \dfrac{R^2}{2D} - \dfrac{r^2}{6D} \right) \text{~~~~ et ~~~~} n(r>R) = \dfrac{\sigma R^3}{3rD} \end{aligned}$$

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Question:

Donner une représentation graphique de $n(r)$ et de la norme du vecteur densité de courant de particule $j_n(r)$ lorsque $r$ varie de 0 à $+\infty$.

Réponse

ok

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On donne le laplacien de $n(r,t)$ en coordonnées sphériques : $\Delta n=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left( r^2\dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} r} \right)$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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