Supraconducteur

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

Un supraconducteur se modélise comme un milieu dans lequel le champ $\vec{B}$ vérifie l'équation suivante :

$$\begin{aligned} \vec{rot} \vec{j}=-\dfrac{ne^2}{m}\vec{B} \end{aligned}$$

où $n=\text{3.e28} m^{-3}$ est la densité volumique électronique, $e=\text{1,6e-19} C$ la charge élémentaire et $m=\text{9,1e-31} kg$ la masse de l'électron.

Question:

A l'aide des équations locales, trouver une équation aux dérivées partielles satisfaite par $\vec{B}$.

On donne $\vec{rot} ~ \vec{rot} =\overrightarrow{\text{grad}} ~ \text{div}-\vec{\Delta}$.

Réponse

On peut utiliser l'équation de Maxwell-Ampère :

$$\begin{aligned} \vec{rot} \vec B = \mu _0 \vec j + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{\partial \vec E}{\partial t} \Rightarrow \vec{rot} \vec{rot} \vec B = \mu_0 \vec{rot} j + \epsilon_0 \mu_0 \vec{rot} \dfrac{\partial \vec E}{\partial t} \\ \Rightarrow ~~~ - \Delta \vec B + \dfrac{\mu_0 ne^2}{m} \vec B + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2} =0 \end{aligned}$$

En effet, on peut permuter le rotationel et la dérivation par rapport au temps.

---

Question:

On se place alors en régime stationnaire dans toute la suite de l'exercice. Que devient l'équation précédente ?

Réponse

On obtient en régime stationnaire :

$$\begin{aligned} \Delta \vec B = \dfrac{\mu_0 ne^2}{m} \vec B \end{aligned}$$

---

Question:

Le supraconducteur occupe le demi-espace $z\geq 0$. De quelle(s) variable(s) dépend le champ $\vec{B}$ ?

Réponse

Le problème étant invariant par rapport à $r$ et $\theta$, on a simplement $\vec B(r, \theta, z) = \vec B(z)$

---

Question:

En utilisant une équation locale, montrer que la composante de $\vec{B}$ suivant $z$ (notée $B_z$) est obligatoirement constante.

Réponse

On a $\text{div} \vec B = 0$ soit $\dfrac{\partial \vec B\cdot \vec e_z}{\partial z} = 0$ donc $B_z$ est bien constant.

---

Question:

Résoudre l'équation différentielle satisfaite par $B_x$, $B_y$ et $B_z$ en fonctions de constantes réelles.

Réponse

On a une équation vectorielle donc on déduit :

$$\begin{aligned} \Delta B_x &= \dfrac{\mu_0 ne^2}{m} B_x \text{~~et~~} \Delta B_y = \dfrac{\mu_0 ne^2}{m} B_y \text{~~et~~} \Delta B_z = \dfrac{\mu_0 ne^2}{m} B_z \\ \end{aligned}$$

Pour la suite, on va poser $k^2 = \dfrac{\mu_0 ne^2}{m}$. La première équation donne $\dfrac{\partial B_x}{\partial z} = k^2 B_x(z)$ Les solutions de cette équations sont $B_x(z) = \alpha e^{-kz} + \beta e^{kz}$.

On trouve de même $B_y(z) = \alpha' e^{-kz} + \beta' e^{kz}$ et au final $B_x(z) = \alpha'' e^{-kz} + \beta'' e^{kz}$

---

Question:

A l'extérieur du supraconducteur, le champ magnétique est uniforme et vaut $\vec{B}=B_0\vec{u_x}$. En déduire exactement le champ magnétique dans le supraconducteur.

Réponse

Le champ $B_z$ étant constant, on en déduit $\alpha''=\beta''=0$. Les autres composantes sont continues donc on déduit $\beta' = \beta''=0$ ( le champ magnétique ne doit pas diverger en $+ \infty$ et $\alpha=B_0$ ; $\alpha'=0$. On obtient donc dans le milieu supraconducteur :

$$\begin{aligned} \vec B = B_0 e^{-kz} \vec e_x \end{aligned}$$

---

Question:

Faire apparaître une longueur caractéristique, l'évaluer et commenter le résultat. On donne $\mu_0=\text{4\pi e-7} H.m^{-1}$ .

Réponse

On obtient au final une longueur caractéristique $l = 1/k = \sqrt{\dfrac{m}{\mu_0 ne^2}} \approx \text{30} nm$ On obtient ainsi une longueur de propagation très faible pour le champ magnétique dans le milieu supra-conducteur.

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) :