Résistance équivalente

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Résistance équivalente d'une grille 2 $\times$ 2

Chaque trait représente un résistor de résistance $R$.

Question:

Déterminer, par symétrie, l'intensité du courant dans chaque conducteur. En déduire la résistance équivalente du réseau vu entre les points $A$ et $B$.

Réponse

On est dans le cas particulier où à chaque nœud rencontré, le courant électrique se divise en deux courants d'intensités égales car le réseau a exactement la même structure selon les deux chemins offerts.

Par exemple en $A$, que le courant passe par le résistor situé à sa verticale ou à sa droite, la suite des composants rencontrés est identique, on a donc $\dfrac{I}{2}$ dans ces deux résistors puis $\dfrac{I}{4}$ dans les suivants.Enfin, les branches se rejoignent et on obtient à nouveau $\dfrac{I}{2}$ puis $I$ conformément à la loi des nœuds.\ On peut décomposer la tension $U_{AB}=U_{AC}+U_{CD}+U_{DB}$ et par application de la loi d'Ohm, $U_{AB}=R.\dfrac{I}{2}+2R.\dfrac{I}{4}+R.\dfrac{I}{2}=6R.\dfrac{I}{4}=\dfrac{3}{2}RI$. Or, en appelant $R_{AB}$ la résistance équivalent au réseau, on peut aussi écrire $U_{AB}=R_{AB}.I$.\ Par identification, on en déduit $R_{AB}=\dfrac{3}{2}R$.

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Résistance équivalente d'un cube

Un cube métallique est constitué de résistors, chaque arête possède une résistance $R$.

Question:

Déterminer, par symétrie, l'intensité du courant dans chaque conducteur.\ En déduire la résistance équivalente du réseau vu entre les points $A$ et $B$.

Réponse

On est dans le cas particulier où à chaque nœud rencontré, le courant électrique se divise en deux courants d'intensités égales car le réseau a exactement la même structure selon les deux chemins offerts.

Par exemple en $A$, que le courant passe par le résistor situé à sa verticale, vers le fond ou à sa droite, la suite les composants rencontrés par la suite seront les même, on a donc $\dfrac{I}{3}$ dans ces deux résistors puis $\dfrac{I}{6}$ dans les suivant. Enfin, les branches se rejoignent et on obtient à nouveau $\dfrac{I}{3}$ puis $I$ conformément à la loi des nœuds. On peut décomposer $U_{AB}=U_{AC}+U_{CD}+U_{DB}$ et par application de la loi d'Ohm, $U_{AB}=R.\dfrac{I}{3}+R.\dfrac{I}{6}+R.\dfrac{I}{3}=\dfrac{5}{6}RI$. Or, en appelant $R_{AB}$ la résistance équivalent au réseau, on peut aussi écrire $U_{AB}=R_{AB}.I$. Par identification, on en déduit $R_{AB}=\dfrac{5}{6}R$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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