Pêcheur au harpon

Partie: Optique

niveau: PTSI

On considère $n_\text{air} \simeq 1,00$ et $n_\text{eau}\simeq 1,33$ . Une truite assimilée à un segment $AB=40$ cm horizontal se situe à la profondeur $HA=1$ m. Un pécheur observe $A_1B_1$ , l'image de $AB$ par le dioptre, sous une incidence (pour $A_1$ ) $i_1=30$ °. Puis en se rapprochant sous une incidence $i_2=10$ °.\

Question:

Sommes nous dans les conditions de Gauss ?\ Exprimez $HA_1$ et $HA_2$ la position des images $A_1$ et $A_2$ vues par le pécheur en fonction de $h$ , $n$ et $i_1$ ou $i_2$ . Faire les applications numériques et conclure.

Réponse

Pour réaliser la figure, on pourra s'inspirer de celle du cours tout en adaptant les notations (Cf ci-dessous à gauche).

Comme pour l'instant $i$ n'est pas faible devant 1 radian, on ne peut pas linéariser les relations de Snell Descartes ( $\sin i_1 \neq i_1$ ) et on garde $n_\text{air} \sin i_1=n_\text{eau} \sin r_1 \Rightarrow \sin i_1=n.\sin r_1$ .

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Dans $IHA_1$ et $IHA$ , deux triangles rectangles ayant le coté $IH$ commun, $\tan i_1=\dfrac{\overline{HI}}{\overline{A_1H}}$ et $\tan r_1=\dfrac{\overline{HI}}{\overline{AH}}$ d'où $\overline{HA}=\dfrac{\tan i_1}{\tan r_1}\overline{HA_1}=\dfrac{\sin i_1.\cos r_1}{\sin r_1 \cos i_1}\overline{HA_1}$ .

Pour éliminer $r_1$ dans l'expression précédente, on utilise $\dfrac{\sin i_1}{\sin r_1}=n$ et $\cos^2 r_1+\sin^2 r_1=1 \Rightarrow \cos r_1 =\sqrt{1-\sin^2 r_1}=\sqrt{1-\dfrac{\sin^2 i_1}{n^2}}=\dfrac{1}{n}\sqrt{n^2-\sin^2 i_1}$ .

On en déduit finalement $\overline{HA}=\dfrac{\cos i_1}{\sqrt{n^2-\sin^2 i_1}}\overline{HA_1}$ . De même, $\overline{HA}=\dfrac{\cos i_2}{\sqrt{n^2-\sin^2 i_2}}\overline{HA_2}$ .

Applications numériques : pour $\overline{HA}=-1$ m et $i_1=30$ ° on calcule $\overline{HA_1} \simeq -70,2$ cm et pour $i_2=10$ °, $\overline{HA_2} \simeq -75$ cm.

Remarque : si on se place dans les conditions de Gauss ( $i$ faible devant 1 radian), l'expression se simplifie (Cf cours) et on obtient $\overline{HA'}=\dfrac{\overline{HA}}{n}\simeq 75$ cm.

Pour le pécheur, le poisson semble plus proche de la surface qu'il n'est en réalité et il risque de rentrer bredouille.

Question:

Le pêcheur étant maintenant quasi vertical par rapport au milieu $O$ de la truite, quelle est la position apparente du poisson et son diamètre angulaire apparent $\alpha$ . On considérera que les yeux du pécheur sont situés à 1,5 m de la surface de l'eau ?

Réponse

À nouveau le poisson semble plus proche de la surface, on a un effet loupe.

Si on fait l'hypothèse des angles faibles ( $\dfrac{\alpha}{2} \ll 1$ radian à vérifier après calcul), on a $\overline{HO'}=\dfrac{\overline{HO}}{n}$ et $\tan \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\overline{O'A'}}{\overline{O'K}} \simeq \dfrac{\alpha}{2} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{O'H}+\overline{HK}}$ .\ L'application numérique donne $\alpha \simeq 13$ ° ce qui confirme à posteriori l'hypothèse des angles faibles.

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : ?

source(s) : Tec et Doc