Poursuite en spirale

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Dans la cour de récréation, trois enfants ($A$, $B$ et $C$) forment un triangle équilatéral de coté $l$.

À l'instant initial, chacun d'entre eux part à la poursuite de l'enfant qui est devant lui, à la même vitesse $v_0$ et dans le sens trigonométrique.

Question:

Réalisez un schéma décrivant la situation à plusieurs instant distincts.

Réponse

on obtient un triangle équilatéral à chaque instant ou le vecteur vitesse de $A$ est porté selon $\vec {AB}$, le vecteur vitesse de $B$ est porté selon $\vec {BC}$ et ainsi de suite.

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Question:

Exprimez $l(t)$ avec $l(t=0)=l_0$.

Réponse

Étant donné que le triangle tourne sur lui même pendant qu'il se rétrécie, on peut envisager de décrire ce mouvement en utilisant un repère cylindrique :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OA} = r \vec e_r \Rightarrow \vec v = \dot{r} \vec e_r + r \dot{\theta} \vec e_{\theta} \end{aligned}$$

De plus, on sait que la vitesse s'exprime le long du vecteur $\vec{AB}$ : $\vec v = v_0 \dfrac{\vec {AB}}{||\vec {AB}||}$ avec :

$$\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{||\vec {AB}||} = \cos(\pi/3) \vec e_{\theta} - \sin(\pi/3) \vec e_r \end{aligned}$$

d'après le schéma de la question precedente. On en déduit par identification :

$$\begin{aligned} \dot{r} = - \sin(\pi/3) v_0 \Rightarrow r(t) = r_0 - \sin(\pi/3) v_0 t \end{aligned}$$

Et de plus, on observe que $l/(2r) = \cos(\pi/6) = \sin(\pi/3)$ soit au final :

$$\begin{aligned} l(t) = l_0 - \sin^2(\pi/3) v_0 t = l_0 - \dfrac{3}{2} v_0 t \end{aligned}$$

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Question:

Au bout de combien de temps se rencontreront-ils ? Quelle distance $d$ auront-ils parcouru ?

Réponse

Les enfants se rencontrent lorsque $l=0$ soit pour $t_f= \dfrac{2l_0}{3v_0}$. On vérifie au passage que ce résultat est bien homogène. Les enfants se déplaçant à vitesse constante (en norme) $v_0$, la distance parcourue vaut $d = v_0 \cdot t_f = \dfrac{2}{3} l_0$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard