Taille de l'atome d'hydrogène

Partie: Chimie

niveau: PTSI

On considère un atome d'hydrogène sphérique de taille caractéristique $a$. On admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome :

$$\begin{aligned} E\simeq \dfrac{\hbar^2}{2ma^2}-\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0a} \end{aligned}$$

où $e=\text{1,60e-19} C$ et $\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}=\text{9,00e9} USI$. On rappelle que $\hbar=\text{1,05e-34} J.S$ et la masse de l'électron est $m_e=\text{9,11e-31} kg$.

Question:

En utilisant l'inégalité de Heisenberg, expliquez l'origine du premier terme de cette équation.

Réponse

C'est l'énergie cinétique liée au confinement. Elle provient de l'inégalité de Heisenberg.

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Question:

Que représente le deuxième terme ?

Réponse

Le 2e terme est l'énergie potentielle.

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Question:

Déterminez la valeur $a_{\rm min}$ de $a$ qui minimise cette expression. Faire l'application numérique. Ce calcul donne l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène.

Réponse

On dérive $E$ par rapport à $a$.

$$\begin{aligned} \left . \dfrac{dE}{da}\right | _{a=a_{min}}=0 \Leftrightarrow -2\dfrac{\hbar^2}{2ma_{min}^3}+\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0a_{min}^2}=0 \Leftrightarrow a_{min}=\dfrac{4\pi \epsilon_0\hbar^2}{me^2}=5,3.10^{-11}~\textrm{m} \end{aligned}$$

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Question:

Que vaut alors $E_{\rm min}$ ? A.N.

Réponse

$E_{min}=E(a_{min})=-2,1.10^{-18}$ J $= -14$ eV. Correspond à peu près au niveau fondamental de l'atome d'hydrogène (à la fois pour $a$ et pour $E$, mais on a de la chance car les approximation sont grossières.

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Question:

En mécanique classique, pour un électron en orbite circulaire de rayon $a$ autour du noyeau, on trouve une énergie mécanique $E=-\dfrac{e^2}{8\pi\epsilon_0a}$.\ De plus, l'électron qui tourne autour du noyau a une accélération non nulle et perd donc de l'énergie par rayonnement électromagnétique (émission d'une onde). Expliquez la phrase suivante : C'est l'inégalité de Heisenberg qui est à la base de la stabilité des atomes.fg.

Réponse

Avec l'expression classique, l'électron perd continuellement de l'énergie et donc son énergie tend vers $-\infty$ et donc $a$ tend vers 0. L'électron devrait finir par s'écraser sur le noyau. L'inégalité de Heisenberg lui interditfg cela puisque lorsque sa distance au noyau diminue, son énergie cinétique augmente et permet donc l'existence d'un minimum d'énergie, c'est-à-dire une position stable.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : exo inspiré par Dunod PCSI p254