Résistance d'une couronne cylindrique

Partie: Electronique

niveau: PT

Une résistance électrique cylindrique est constituée d'un matériau ohmique de conductivité $\gamma$, qui occupe l'espace compris entre les rayons $R_1$ et $R_2$, sur une hauteur $h$. Le cylindre intérieur, de rayon $R_1$, est porté au potentiel $V_1$ ; celui de rayon $R_2$, est porté au potentiel $V_2$. On se place en régime permanent.

Question:

Pourquoi le vecteur densité de courant est-il à flux conservatif ?

Réponse

régime permanent : pas d'accumulation de charges

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Question:

Etablir l'expression de la résistance électrique de ce conducteur ohmique.

Réponse

On trouve $I= 2\pi r h j =$Cste puis $\vec j = \gamma \vec E$.

On a donc $I = -2 \pi r h \gamma \dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}$ et cette relation peut être intégrée par méthode de séparation des variables.

On trouve enfin $R = \dfrac{1}{2\pi \gamma h}\ln\left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)$

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Question:

Réaliser ensuite l'application numérique pour $\gamma = 6~10^7~S.m^{-1}$ (conductivité du cuivre), $h=2~cm$, $R_2=2,2~cm$ et $R_1=2~cm$. (une première valeur approchée est attendue sans calculatrice).

Réponse

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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