Distribution de Maxwell-Boltzmann

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Un gaz parfait, on équilibre thermique dans une enceinte à la température $T$ est constitué de $N$ molécules de masse $m$. Les chocs moléculaires se traduisent par une répartition aléatoire des vitesses des molécules suivant la distribution de Maxwell-Boltzmann. Ainsi, le nombre de molécules de l'enceinte dont le module de la vitesse est compris entre $v$ et $v+dv$ est donné par :

$$\begin{aligned} dN_v=N\left ( \dfrac{m}{2\pi k_BT} \right )^{\dfrac{3}{2}}e^{-\dfrac{mv^2}{2k_BT}}4\pi v^2 dv=Nf(v)dv \end{aligned}$$

Question:

Que représente la quantité $f(v)dv$ ? donner l'allure de la fonction $f(v)$

Réponse

C'est la proba qu'une molécule ait le module de sa vitesse compris entre $v$ et $v+dv$. La courbe a l'allure d'une parabole proche de 0 puis décroissance exp.

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Question:

Calculez la vitesse moyenne $\left < v\right >$ et la vitesse quadratique moyenne $u$ d'une molécule de ce gaz.

Réponse

Par définition $\left <v\right >=\int_{-\infty}^\infty vf(v)dv$ et $u=\sqrt{\left <v^2\right >}=\sqrt{\int_0^\infty v^2f(v)dv}$ On trouve : $\left <v\right >=0$ et $u=\sqrt{\dfrac{3k_BT}{m}}=\text{493} m/s$.

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Question:

En déduire l'énergie cinétique moyenne d'une molécule en fonction de $k_B$ et de $T$.

Réponse

$\left <E_c\right >=\dfrac{3}{2}k_BT$

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Question:

En utilisant la loi des gaz parfaits, montrez que la pression est donnée par $P=\dfrac{1}{3}n^*mu^2$ avec $n^*$ la densité moléculaire.

Réponse

equation d'état : $P=n^*k_BT$ ; or d'après Q2, $T=\dfrac{mu^2}{3k_B}$ d'où le résultat.

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Question:

Le trajet d'une molécule en ligne droite entre deux chocs s'appelle le libre parcours moyen. Il est donné par la relation suivante : $l_m=\dfrac{1}{\pi \sigma^2n^*}$ où $\sigma$ est le diamètre des molécules. Pour le diazote, on donne $\sigma_{N_2}=\text{3,77e-10} m$. Exprimer $l_m$ en fonction de $P$ et de $T$. Calculer $l_m$ pour du diazote à 0°C et sous une atmosphère. Que devient cette valeur si la pression est réduite d'un facteur $10^8$ ? pourquoi dit-on qu'à très basse pression, les phénomènes de paroi sont prépondérants ?

Réponse

$\text{4,41e-8} m$ et $\text{4,41} m$. Le libre parcours moyen devient plus grand que la taille du système. Les parois vont donc jouer un rôle prépondérant dans l'évolution du gaz (thermalisation par exemple).

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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