Filtre de Colpitts

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère le filtre suivant comportant deux condensateurs de capacités $C$ et $3C$ , un résistor de résistance $R$ et une bobine d'inductance $L$ .

Il est utilisé en régime sinusoïdal forcé et en sortie ouverte (rien n'est branché entre les bornes de la sortie).

Question:

Etudiez qualitativement le comportement de ce quadripôle en haute fréquence puis en basse fréquence. De quel type de filtre s'agit-il ?

Réponse

Comportement asymptotique du filtre : on représente le circuit équivalent en basses fréquences (ci-dessous à gauche) puis en hautes fréquences (ci-dessous à droite).

En BF, la branche contenant les condensateurs est court circuitée, la tension de sortie $u_{s}=0$ , le gain en tension est $G=0$ .

En HF, la tension de sortie est prise aux bornes d l'équivalent d'un interrupteur fermé, $u_{s}=0$ , le gain en tension est $G=0$ .

Le gain en tension étant nul en BF et en HF, il doit s'agir d'un filtre passe bande.

Question:

On peut montrer que la fonction de transfert de ce filtre peur se mettre sous la forme

$\begin{aligned} \underline{H}=\dfrac{A}{1+jQ(x-\dfrac{1}{x})} \end{aligned}$

Précisez le nom et la signification de $x=\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$ , $\omega_{0}$ , $Q$ et $A$ .

Réponse

Dans l'expression de la fonction de transfert,

$x=\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$ est la pulsation réduite, sans dimension.

$\omega_{0}$ est la pulsation propre et ici la pulsation de résonance du filtre. Sa dimension est T $^{-1}$ ("temps moins un").

$Q$ est le facteur de qualité; ou facteur de surtension du filtre, sans dimension. Le filtre est plus sélectif quand $Q$ augmente.

$A$ est le gain maximum atteint, lorsque $x=1$ . Il est sans dimension.

Question:

Les diagrammes de Bode de ce quadripôle ont été relevés pour $Q=10$ . Justifier l'allure des parties rectilignes de ces diagrammes. Déterminez graphiquement la valeur de $A$ , de la fréquence $f_{0}$ pour laquelle $x=1$ et de la bande passante du filtre.

Réponse

Pour justifier le pente des parties rectilignes du diagramme de Bode, on peut déterminer les valeurs asymptotiques de $\underline{H}$ .

En BF,

$\begin{aligned} x\ll1 \Rightarrow 1+jQ\bigg(x-\dfrac{1}{x}\bigg) \simeq -\dfrac{jQ}{x} \Rightarrow \underline{H} \simeq \dfrac{jAx}{Q} \end{aligned}$

$\Rightarrow G_{dB} \simeq 20 \log A-20 \log Q+20\log x$ : portion de droite de pente 20 dB / décade et coupant l'axe des ordonnées en $\simeq 20 \log \dfrac{A}{Q}$ et $\varphi \simeq 90$ °

En HF,

$\begin{aligned} x\gg1 \Rightarrow 1+jQ\bigg(x-\dfrac{1}{x}\bigg) \simeq jQx \Rightarrow \underline{H} \simeq -\dfrac{jA}{Qx} \end{aligned}$

$\Rightarrow G_{dB} \simeq 20 \log A-20 \log Q-20\log x$ : portion de droite de pente $-$ 20 dB / décade et coupant l'axe des ordonnées en $\simeq 20 \log \dfrac{A}{Q}$ et $\varphi \simeq -90$ °

Graphiquement on lit $f_{0}=\text{1,0e3} Hz$ et on a alors $\underline{H}=A \Rightarrow G_{dB}=20 \log A \simeq -12$ dB.

On en déduit $\log A\simeq -\dfrac{12}{20}=-0,6 \Rightarrow A\simeq 10^{-0,6} \simeq 0,25$ .

Dans le cas d'un filtre passe bande du second ordre, on peut utiliser la relation $\Delta f=\dfrac{f_{0}}{Q}=\dfrac{10^{3}}{10}=\text{100} Hz$ ici. La bande passante est donc $\text{950} Hz \leq f \leq \text{1050} Hz$ .

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : Ellipse, PCSI