Isolation thermique

Partie: Thermodynamique

niveau: PT

On considère un mur qui sépare une pièce à $T_i$ de l'air extérieur à $T_e$. Le mur est constitué d'une épaisseur $e_0$ de pierre de conductivité thermique $\lambda_0$ et d'une épaisseur $e_1$ d'isolant de conductivité $\lambda_1$. Les échanges thermiques entre les faces du mur et l'air sont proportionnel à la surface de contact de l'interface et à la différence de température entre l'air et l'extrémité du mur. On supposera que le coefficient de proportionnalité (appelé $h$) est identique pour les deux faces.

Dans un premier temps, on considère qu'il n'y a pas d'isolant ($e_1=0$).

Question:

Rappeler sans démonstration l'équation de la diffusion thermique dans le mur de pierre en régime permanent.

Réponse

On a simplement $\dfrac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} x^2}=0$ à l'intérieur du mur. En effet, la dérivée temporelle disparait en régime permanent.

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Question:

Quelles sont les conditions limites en $x=0$ (face extérieure), $x=e_0$ ? On notera $T_1$, la température du mur côté extérieur et $T_2$ côté intérieur.

Réponse

On utilise la continuité du flux thermique aux interfaces :

$$\begin{aligned} & h(T_e - T_1) = -\lambda_0 \dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}(0)\\ & h(T_2 - T_i) = -\lambda_0 \dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}(e_0) \end{aligned}$$

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Question:

En déduire l'expression de la température $T(x)$ pour $x\in [0,e_0]$ en fonction de $T_e$, $T_i$, $h$ et $\lambda_0$.

Réponse

On sait d'après la première question que $T(x) = ax+b$. On en déduit $\dfrac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} x^2}=a$. On obtient ainsi le système suivant à résoudre :

$$\begin{aligned} & (T_e - b) = -\dfrac{\lambda_0}{h} a \\ & (a e_0 + b - T_i) = -\dfrac{\lambda_0}{h} a \end{aligned}$$

Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues que l'on peut résoudre. On obtient ainsi en sommant les deux premières équations $T_e + ae_0 - T_i = -2 (\lambda_0/h) a \Rightarrow a (e_0 + 2 \lambda_0/h) = T_i -T_e \Rightarrow a = \dfrac{T_i-T_e}{e_0 + 2 \lambda_0/h}$. Une injection dans la première équation donne : $b = T_e + \dfrac{\lambda_0}{h}\dfrac{T_i-T_e}{e_0 + 2 \lambda_0/h}$

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Question:

En déduire le flux $j_{th}$ lié aux pertes thermiques en régime permanent.

Réponse

Le flux vaut ici $j_{th} = -\lambda_0 \dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x} = -\lambda_0 a = - \dfrac{\lambda_0}{e_0 + 2 \lambda_0/h} (T_i-T_e)$. On obtient bien un flux proportionnel à la différence de température en régime permanent.

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Question:

Retrouver ce résultat en utilisant cette fois ci un raisonnement basé sur l'utilisation de résistances thermiques surfaciques.

Réponse

On peut modéliser les deux interfaces ainsi que le mur par des résistances thermiques tel que $j_{th}r_i = \Delta T$. En régime permanent, le flux thermique est identique en tout point donc $j_{th} (r_{\rm ext} + r_{\rm mur} + r_{\rm int}) = T_e-T_i$.\ De plus, on sait que $r_{\rm ext} =r_{\rm int}= 1/h$ puis que $r_{\rm mur} = e_0/\lambda_0$. On en déduit au final :

$$\begin{aligned} j_{th} = \dfrac{1}{2/h + e_0/\lambda_0} (T_e-T_i) = -\dfrac{\lambda_0}{e_0+ 2\lambda_0/h} (T_i-T_e) \end{aligned}$$

d'où le résultat.

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On considère maintenant l'ajout de l'isolant ($e_1 \neq 0$).

Question:

Quelle épaisseur d'isolant doit on ajouter au mur de pierre pour diviser par dix les pertes thermiques ? On donne $h=\text{10} W.K^{-1}.m^{-2}$, $e_0=\text{10} cm$, $\lambda_0=\text{1,3} W.K^{-1}.m^{-1}$ (pour du grès) puis $\lambda_1=\text{0,035} W.K^{-1}.m^{-1}$ (pour de la laine de verre).

Réponse

La méthode la plus rapide est celle basée sur l'utilisation des résistances thermiques. Ici, on ajoute $r_{\rm iso} = e_1/\lambda_1$ aux autres résistances thermiques et on obtient :

$$\begin{aligned} j_{th,iso} =\dfrac{1}{2/h + e_0/\lambda_0 + e_1/\lambda_1} (T_e-T_i) \end{aligned}$$

On veut $j_{th,iso} = j_{th}/10$ d'où :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{10} = \dfrac{j_{th,iso}}{j_{th}} = \dfrac{2/h + e_0/\lambda_0 }{2/h + e_0/\lambda_0 + e_1/\lambda_1} \Rightarrow \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{1+\dfrac{e_1/\lambda_1}{2/h + e_0/\lambda_0}} \Rightarrow e_1 = 9 \lambda_1 \left( \dfrac{2}{h} + \dfrac{e_0}{\lambda_0} \right) \end{aligned}$$

L'application numérique donne $e_1 = \text{8,7} cm$. Il est donc assez simple de réduire drastiquement les pertes thermiques dans une habitation (et donc de réduire la consommation énergétique liée au chauffage).

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auteur(s) : Maxence-Miguel-Brebion

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