Oscilateurs couplés

Partie: Electronique

niveau: PTSI



Deux circuits $LC_0$ sont branchés en parallèle sur un condensateur de capacité $C$. A l'instant $t=0$ on ferme les deux interrupteurs.

Le condensateur de couplage ($C$) est initialement déchargé.

Question:

[[q:equations]]{#q:equations label="q:equations"} Établissez les équations différentielles auxquelles obéissent les intensités $i_1(t)$ et $i_2(t)$.

Réponse

Loi des mailles à gauche : $u_C+u_{C_1}+u_L=0$. On a aussi $u_L=L \dfrac{di_1}{dt}$ et on dérive la loi des mailles par rapport au temps : $\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{du_{C_1}}{dt}+L \dfrac{d^2i_1}{dt^2}=0$. On se rappelle que $\dfrac{du_C}{dt}=\dfrac{1}{C}i_C$ ce qui nous donne :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{C}(i_1+i_2) +\dfrac{1}{C_1}i_1+L \dfrac{d^2i_1}{dt^2}=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{LC}(i_1+i_2) +\dfrac{1}{LC_1}i_1+\dfrac{d^2i_1}{dt^2}=0 \end{aligned}$$

De l'autre coté, on obtient la même équation en remplaçant $i_1$ par $i_2$ (circuit symétrique) :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{LC}(i_1+i_2) +\dfrac{1}{LC_1}i_2+\dfrac{d^2i_2}{dt^2}=0 \end{aligned}$$

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Question:

On pose $i_+=i_1+i_2$ et $i_-=i_1-i_2$. A partir de la question [q:equations]{reference-type="ref" reference="q:equations"}, déduisez les équations différentielles auxquelles obéissent $i_+$ et $i_-$.

Réponse

Pour obtenir l'équation sur $i_+$ on somme les deux équations précédentes.

$$\begin{aligned} \dfrac{2}{LC}(i_1+i_2) +\dfrac{1}{LC_1}(i_1+i_2) +\dfrac{d^2(i_1+i_2)}{dt^2} =0 \Rightarrow (\dfrac{2}{LC} +\dfrac{1}{LC_1})i_+ +\dfrac{d^2i_+}{dt^2} =0 \end{aligned}$$

On peut donc poser $\omega'=\sqrt{\dfrac{2}{LC}+\dfrac{1}{LC_1}}$.

De même si on soustrait les deux équations :

$$\begin{aligned} 0+\dfrac{1}{LC_1}(i_1-i_2)+\dfrac{d^2(i_1-i_2)}{dt^2}=0 \Rightarrow \dfrac{1}{LC_1}i_-+\dfrac{d^2i_-}{dt^2}=0 \end{aligned}$$

Et on pose alors $\omega= \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

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Question:

Résolvez les équations : on pourra définir deux pulsations $\omega$ et $\omega'$. (On ne cherchera pas encore à déterminer les constantes d'intégration)

Réponse

Les solutions sont alors de la forme $i_+=2I'\sin{(\omega' t+\varphi)}$ et $i_-=2I\sin{(\omega t+\varphi_1)}$. On trouve $i_1=\dfrac{i_++i_-}{2}=I'\sin{(\omega' t+\varphi)}+I\sin{(\omega t+\varphi_1)}$ et $i_2=\dfrac{i_+-i_-}{2}=I'\sin{(\omega ' t+\varphi)}-I\sin{(\omega t+\varphi_1)}$.

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Question:

On s'intéresse au cas où les condensateurs de capacité $C_0$ sont initialement chargés avec une charge $Q_0$ sous une tension $u_0=\dfrac{Q_0}{C_0}$. Donnez l'expression de $i_1$ et de $i_2$ ainsi que le lien entre les deux.

Réponse

On a par symétrie $i_-=0$ car $i_1 = i_2$ ici (circuit et conditions initiales symétriques). On en déduit d'après la question précédente que $I=0$ et il reste à determiner $I$. Ma LdM donne $u_{L_1}=u_{L_2}=-u_0$ à l'instant initial.

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Question:

On s'intéresse au cas où le condensateur de gauche est initialement chargé avec une charge $Q_0$ et celui de droite avec une charge $-Q_0$. Donnez l'expression de $i_1$ et de $i_2$ ainsi que le lien entre les deux.

Réponse

Dans le cas symétrique (tension opposée aux bornes des deux condensateurs à l'instant initial) $u_{L_1}=-u_{L_2}=-u_0$. Ce qui donne $I=0$ et $i_1=\dfrac{-u_0}{2L\omega}$

Comme $I=0$, on a bien $i_+=0$. Il s'agit du mode d'oscillation anti-symétrique (à tout instant $i_1=-i_2$).

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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