Chaine de pendule

Partie: Mecanique

niveau: PT

On considère une chaîne de pendules de masse $m$ et de longueur $l$, séparés d'une distance $a$ et reliés par un câble de torsion. Le n-ième pendule est contenu dans un plan $x_n=na$. On note $C$ la constante de torsion telle que le moment (par rapport à l'axe $Ox$) exercé par la partie gauche sur la partie droite de la chaîne s'écrit $\mathcal{M}=-C(\theta_{n}-\theta_{n-1})$

On se place dans l'approximation des petits angles et le poids ne sera pas négligé dans cette étude.

Question:

Écrivez l'équation régissant le mouvement du n-ième pendule.

Réponse

Le couple exercé par un pendule sur un autre étant connu, il reste à déterminer le couple créé par le poids $\Gamma_p$ au niveau du point d'attache :

$$\begin{aligned} \Gamma_p = l \vec e_r \wedge m g \vec e_z = -lmg \sin(\theta_n) \vec e_x \end{aligned}$$

avec $\sin(\theta)\approx \theta$ dans l'approximation des petits angles. On peut alors appliquer le TMC au pendule $n$ de moment d'inertie $ml^2$ en projection selon $\vec e_x$

$$\begin{aligned} &ml^2 \dfrac{\mathrm{d} \theta_n}{\mathrm{d} t} = -C(\theta_n - \theta_{n-1}) + C(\theta_{n+1} - \theta_{n}) - mgl \sin(\theta_n) \\ \Rightarrow ~~& ml^2 \dfrac{\mathrm{d} \theta_n}{\mathrm{d} t} - C (\theta_{n-1} -2\theta_n + \theta_{n+1}) + mgl \theta_n = 0 \end{aligned}$$

Il s'agit bien d'une équation différentielle linéaire couplée (l'état du pendule $n$ dépend des pendules $n-1$ et $n+1$.

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L'état de torsion du câble est décrit continûment par une fonction de $\theta(x,t)$ telle que $\theta(x_n,t)=\theta_n(t)$. Nous nous plaçons dans une situation de déformation telle que le développement limité de cette fonction, dans le passage de l'abscisse $na$ à l'abscisse $na\pm a$ peut être limité au second ordre relativement au pas $a$.

Question:

Montrez alors que la fonction $\theta$ vérifie l'équation aux dérivées partielles :

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial t^2}-c_0^2\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}+\omega_0^2\theta=0 \end{aligned}$$

où $c_0$ et $\omega_0$ sont des constantes que l'on exprimera et pour lesquelles on proposera une interprétation physique.

Pensez à exprimer $\theta_{n+1}$ et $\theta_{n-1}$ en fonction de $\theta_n$ et de ses dérivées.

Réponse

On a $\theta_{n\pm 1} \approx \theta_n \pm a \dfrac{\partial \theta}{\partial x}(x,t) + \dfrac{a^2}{2} \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}(x,t)$ (DL2). En injectant ces expression dans la relation suivante, on obtient :

$$\begin{aligned} & ml^2 \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} - C (\theta_{n} -2\theta_n + \theta_{n} + a \dfrac{\partial \theta}{\partial x} - a \dfrac{\partial \theta}{\partial x} + a^2 \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}) + mgl \theta_n = 0 \\ \Rightarrow ~~ & \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} - \dfrac{Ca^2}{ml^2} \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} + \dfrac{g}{l} \theta = 0 \end{aligned}$$

Cette expression est bien de la forme demandée avec $c_0 = \dfrac{a}{l} \sqrt{\dfrac{C}{m}}$ et $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$. A l'aide des nouvelles variables, on obtient :

$$\begin{aligned} c_0^2 = \dfrac{\kappa }{\mu l^2} \Rightarrow c_0 = \dfrac{1}{l}\sqrt{\dfrac{\kappa}{\mu}} \end{aligned}$$

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On pose $\mu=\dfrac{m}{a}$ et $\kappa=C a$. Exprimez alors $c_0$ en fonction de $\mu$, $l$ et $\kappa$. On étudie dans la suite la propagation d'une onde harmonique de pulsation $\omega$ et de nombre d'onde $\underline{k}$ complexe : $\underline{\theta}(x,t)=\theta \exp[j(\omega t-\underline{k}x)]$

Question:

Établissez la relation de dispersion du milieu pour cette onde.

Réponse

Il suffit d'injecter cette solution dans l'équation de propagation :

$$\begin{aligned} (-\omega^2 + c_0^2 k^2 + \omega_0^2 )\bar{\theta} = 0 \text{~~soit~~} \omega^2-\omega_0^2 = k^2c_0^2 \end{aligned}$$

Il s'agit de la relation de dispersion de Klein-Gordon.

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Question:

Représentez l'allure de l'évolution des parties réelles et imaginaires de $\underline{k}$ avec $\omega$.

Réponse

On a $k\in \mathbb{R}$ donc partie imaginaire nulle.

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Question:

Exprimez les vitesses de phase $V_{\varphi}$ et de groupe $V_G$ en fonction de $c_0$ et $\omega_0$.

Réponse

On a $v_\phi = \dfrac{\omega}{k} = c_0 \dfrac{\omega}{\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}$ et $v_g = \dfrac{\partial \omega}{\partial k} = c_0^2 \dfrac{2k}{ 2 \sqrt{c_0^2 k^2 + \omega_0^2}} = c_0 \dfrac{\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}{\omega} = \dfrac{1}{v_\phi}$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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