Modèle de l'atome de Bohr

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

À la base du modèle de Bohr se trouve le modèle planétaire d'atomes d'hydrogène : un électron de masse $m=\text{9,1e-31} kg$ et de charge $-e=-\text{1,16e-19} C$ est en orbite circulaire autour d'un proton immobile en $O$ de charge $+e$. On donne $\varepsilon_{0}=\text{8,85e-12} F.m^{-1}$

Question:

Donnez l'expression de la norme $v$ de la vitesse de l'électron en fonction du rayon $r$ de sa trajectoire.

Réponse

La trajectoire est circulaire, et par application du PFD sur l'électron dans le référentiel lié au noyau et considéré comme galiléen.

$$\begin{aligned} m\vec{a}=\vec{F} \Rightarrow -m\dfrac{v^{2}}{r}=-\dfrac{-e.e}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}} \Rightarrow v=\dfrac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}mr}} \end{aligned}$$

---

Question:

Exprimez l'énergie mécanique $E_{m}$ de l'orbite circulaire de rayon $r$ en fonction de $r$, $e$ et $\varepsilon_{0}$.

Réponse

Par définition,

$$\begin{aligned} E_{m}=E_{m}+E_{p}=\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}=-\dfrac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \end{aligned}$$

on retrouve $E_{m}=-\dfrac{k}{2a}$

---

Question:

Exprimez le moment cinétique de $\vec{L}_{O}$ de l'atome en fonction des mêmes quantités et de $m$.

Réponse

Par définition, dans la base polaire

$$\begin{aligned} \vec{L}_{O}=m\vec{r}\wedge \vec{v}=mrv.\vec{e}_{z}=\sqrt{\dfrac{e^{2}mr}{4\pi \varepsilon_{0}}}.\vec{e}_{z} \end{aligned}$$

---

L'expérience montre que l'atome d'hydrogène ne peut émettre ou absorber des photons ne possédant que certaines longueurs d'ondes bien précises. Pour interpréter ces résultats, Niels Bohr (1885 --1962) a proposé de quantifier la norme du moment cinétique $L_{O}=n\hbar$, où $\hbar=\text{1,05e-34} J.s$ est la constante de Planck réduite et $n>0$ un entier strictement positif.

Question:

En déduire que les orbites ont des rayons $r_{n}=n^{2}r_{1}$ et les énergies $E_{n}=-\dfrac{E_{1}}{n^{2}}$.

Réponse

En reprenant la relation précédente,

$$\begin{aligned} L_{0}=n\hbar \Rightarrow \sqrt{\dfrac{e^{2}mr}{4\pi \varepsilon_{0}}}=n\hbar \Rightarrow r=r_{n}=\dfrac{4\pi\varepsilon_{0}n^{2}\hbar^{2}}{me^{2}}=n^{2}r_{1} \end{aligned}$$

soit au final

$$\begin{aligned} E_{n}=-\dfrac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r_{n}}=-\dfrac{me^{4}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}n^{2}\hbar^{2}}=-\dfrac{E_{1}}{n^{2}} \end{aligned}$$

---

Question:

Faites les application numériques pour $r_{1}$ et $E_{1}$ (en eV pour cette dernière) puis commentez les résultats obtenus.

Réponse

On obtient pour les AN : $r_{1} \approx \text{5,3e-11} m$ et $E_{1}=\text{2,2e-18} J$ soit $\text{13,6} eV$.

On retrouve les valeurs tout à fait cohérentes avec celles mesurées par d'autres méthodes.

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : Tec et doc Physique PCSI p559