Focométrie

Partie: Optique

niveau: PTSI

La focométrie est la recherche de la distance focale d'un système optique : lentilles minces sphériques.

Méthode de BESSEL

Un objet $AB$ et un écran $(E)$ sont maintenus fixes et distants de $D$. Entre l'objet et l'écran, on déplace une lentille convergente de distance focale image $f'$ à déterminer.

Question:

Montrer que si $D>4f'$, il existe deux positions de la lentille distantes de $d$ pour lesquelles il y a une image nette de l'objet sur l'écran.

Réponse

On commence par tracer une figure sur laquelle on représente l'objet (réel), la lentille et l'écran sur lequel se forme l'image réelle (plus haut à droite).

En posant ensuite $x=\overline{AO}$ et $D=\overline{AA'}$ soit $\overline{OA'}=\overline{OA}+\overline{AA'}=-x+D$, la relation de conjugaison de Descartes va prendre la forme $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'} \Rightarrow -\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{D-x}=\dfrac{1}{f'}$

Ce qui donne $-\dfrac{D-x+x}{x(D-x)}=\dfrac{1}{f'} \Rightarrow -Df'=xD-x^2$ et on aboutit à une équation du second degré en $x$ sous la forme $x^2-Dx+Df'=0$.

On calcule le discriminant $\Delta=D^2-4Df'$. L'équation comporte 2 solutions réelles si $\Delta>0$, c'est à dire si $D>4f'$. On a alors les deux solution suivantes : $x_1=\dfrac{1}{2}(D - \sqrt{D^2-4Df'})$ et $x_2=\dfrac{1}{2}(D + \sqrt{D^2-4Df'})$ qui correspondent à deux postions $O_1$ et $O_2$ possibles pour la lentille et pour lesquelles $A'B'$ est nette à l'écran (image réelle inversée agrandie si $L$ proche de $AB$ et plus petite si $L$ est plus proche de l'écran).

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Question:

Exprimer $f'$ en fonction de $d$ et $D$.

Réponse

La distance entre ces deux postions est $d=\overline{O_1O_2}=\overline{O_1A}+\overline{AO_2}=-x_1+x_2=\sqrt{\Delta}=\sqrt{D^2-4Df'} \Rightarrow f'=\dfrac{D^2-d^2}{4D}$.

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Méthode d'auto-collimation

On déplace un objet $AB$ face à une lentille accolée à un miroir plan jusqu'à ce que l'image $A'B'$ de $AB$ se forme dans le plan de l'objet.

Question:

Montrez que cette méthode permet de déterminer la distance focale de la lentille. Peut-on directement utiliser cette méthode avec une lentille divergente ?

Réponse

Il convient d'utiliser un schéma ; la méthode ne va pas fonctionner avec une lentille divergente

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Méthode de BADAL

On utilise deux lentilles convergentes $(L_1)$ et $(L_2)$ distantes de $\overline{O_1O_2}>f'_2$.

Question:

Faîtes une figure.

Réponse

Pour le moment, on utilise que deux lentilles convergentes : $(L_1)$ et $(L_2)$ et on a imposé $A=F_1$.

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Question:

Un objet ponctuel $A$ est placé en $F_1$ (par auto collimation) et a pour image $A''$ par le système complet. Déterminez la position de $A''$.

Réponse

On cherche l'image de $A$ par le système { $(L_1)+(L_2)$ }.

Nul besoin d'utiliser une relation de conjugaison : $A=F_1 -(L_1)\to A_1$ à l'$\infty$ $-(L_2)\to F'_2=A''$.

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Question:

On intercale une lentille divergente $(L_3)$ en $O_3=F_2$ dont on veut mesurer la distance focale\ Faîtes une figure et déterminez une méthode de mesure de $f'_3$.

Réponse

On intercale, en $F_2$, une lentille divergente $L_3$ de distance focale inconnue (figure de droite).

Si on retrouve alors une image nette $A'$ en déplaçant l'écran d'une distance $\delta$, c'est que $A'$ l'image de $F'_3$ par $L_2$ est sur l'écran. En utilisant la relation de conjugaison de Newton, on a

$$\begin{aligned} \overline{F_2F'_3}.\overline{F'_2A'}=-f'^{2}_{2} \Rightarrow f'_3=-\dfrac{f'^{2}_{2}}{\delta} \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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