Étoile et triangle

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Lors de l'étude de certains réseaux, il peut être utile de remplacer une association "triangle" en une association "étoile" ou inversement.

Association étoile

Association triangle

L'objectif de cet exercice est de déterminer les relations entre les résistances pour que les deux montages soient équivalents.

Question:

Déterminer $u_{BA}$ dans les deux représentations en fonction de $I_1$, $I_2$ et $I_3$ et des résistances $r_1$, $r_2$ et $r_3$. On notera $i$ l'intensité du courant dans $r_3$ qui pourra servir d'intermédiaire de calcul.

Réponse

Figure de gauche (étoile), on peut rapidement exprimer $u_{BA}$ en fonction des intensités $I_1$ et $I_2$ : $u_{BA}=u_{BO}+u_{OA}=-R_1.I_1+R_2.I_2$.

Figure de droite (triangle), on utilise directement la loi des nœuds pour faire figurer les intensités qui traversent les résistors.

On en déduit ensuite $u_{BA}=r_3.i=u_{BC}+u_{CA}=r_1.(I_2-i)-r_2.(I_1+i)$.

On isole ensuite $i$ dans la seconde équation : $i.(r_3+r_2+r_1)=-r_2.I_1+r_1.I_2 \Rightarrow i=-\dfrac{r_2}{r_1+r_2+r_3}I_1+\dfrac{r_1}{r_1+r_2+r_3}I_2$.

Reste à remplacer dans l'expression de $u_{BA}$ pour éliminer $i$ : $u_{BA}=-\dfrac{r_2.r_3}{r_1+r_2+r_3}I_1+\dfrac{r_1.r_3}{r_1+r_2+r_3}I_2$

---

Question:

Ces relations doivent rester valables quelque soient les $I_j$, en déduire, par identification : $R_1$, $R_2$ et $R_3$ en fonction de $r_1$, $r_2$ et $r_3$.

Réponse

On a donc $u_{BA}=-\dfrac{r_2.r_3}{r_1+r_2+r_3}I_1+\dfrac{r_1.r_3}{r_1+r_2+r_3}I_2$ pour toute valeur de $I_1$ et $I_2$.

Par identification, on en déduit $R_1=\dfrac{r_2.r_3}{r_1+r_2+r_3}$, $R_2=\dfrac{r_1.r_3}{r_1+r_2+r_3}$ et par permutation circulaire des indices, $R_3=\dfrac{r_1.r_2}{r_1+r_2+r_3}$.

---

Question:

Application : déterminer $R_{1}$, $R_{2}$ et $R_{3}$ si $r_{1}=r_{2}=r_{3}=R$.

Réponse

Application : si $r_{1}=r_{2}=r_{3}=R$ on a $R_{1}=R_{2}=R_{3}=\dfrac{R}{3}$.

---

Ce résultat est connu sous le nom du théorème de Kennely.

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : ?