Determination d'un filtre

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère un signal $s(t)=S_0\cos(2\pi f t)$, dont la fréquence peut varier entre $10$ Hz et $1$ kHz auquel s'ajoute un bruit additif que l'on modélisera par un signal haute fréquence $b(t)=B_0\cos(2\pi f_b t)$ de fréquence $f_b\simeq 500 f$. Les mesures étant délicates, on souhaite diminuer l'importance du bruit par rapport au signal. On se propose de réaliser cette opération via un filtre.

Question:

De quel type de filtre a-t-on besoin ? Tracez un gabarit raisonnable pour le filtre demandé.

Réponse

Filtre Passe bas, au niveau du gabarit, il faut un gain min et max de 10 à 1 kHz, en dessous on s'en moque, au dessus, à partir de 5 kHz ($500\times 10$) il faut un gain le plus faible possiblefg

---

On propose les fonctions de transferts suivantes (en pulsation réduite $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}=\dfrac{f}{f_0}$) :

$$\begin{aligned} \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0 jx}{1+jx}~;~\underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0}{1+jx}~;~ \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0 jx}{1-x^2+\dfrac{jx}{Q}} ~;~ \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0 (jx)^2}{1-x^2+\dfrac{jx}{Q}}~;~ \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0}{1-x^2+\dfrac{jx}{Q}} \end{aligned}$$

Question:

La(Les)quelle(s) peuvent convenir (justifier la réponse) ? Dans le cas où plusieurs fonctions sont possibles, la(les)quelle(s) préférez-vous ? Pourquoi ?

Réponse

$$\begin{aligned} \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0}{1+jx}~~;~~ \underline{H}=\dfrac{\underline{H}_0}{1-x^2+\dfrac{jx}{Q}} \end{aligned}$$

correspondent à un passe bas d'après l'étude des asymptotes. On préfèrera l'ordre 2 qui va donner une pente plus importante et donc se rapprocher plus d'un filtre idéal que l'ordre 1.

---

Question:

Comment choisir $\omega_0$ pour le filtre ? Quelles sont les avantages/inconvénients à choisir une valeur relativement faiblefg ?, relativement élevéefg ?

Réponse

Il faut choisir $\omega_0$ entre 1 et 5 kHz (au dela de ce qu'on ne veut pas couper et en dessous de ce que l'on veut couper)\ Si on prend $\omega$ faible, on va un peu atténuer une partie du signal (ondulation plus importante) mais si on prend $\omega$ élevé on atténuera moins le bruit

---

Question:

On choisit le filtre le plus favorable en prenant $f_0=\text{2} kHz$ et l'(les) autre(s) paramètre(s) valant 1. Quelle est l'ondulation ($G_{max}-G_{min}$) dans la bande passante du filtre ?

Réponse

Compte tenu de l'expérience des filtres que l'on a, la fonction $G(\omega)$ est monotone dans cet intervalle, donc on regarde juste $G(x=10/2000)$ et $G(x=1000/2000)$ avec

$$\begin{aligned} G(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2+x^2}} \end{aligned}$$

soit $1,11-1,00\simeq 0,11$

---

Question:

On considère un signal de fréquence $\text{10} Hz$, de combien le rapport signal sur bruit est-il amélioré avec l'utilisation du filtre ?

Réponse

le bruit est atténué d'un facteur $G(x=5/2)=0,17$ alors que le signal n'est pas amplifié d'où un gain d'un facteur 6 pour le rapport signal sur bruit

---

Question:

De même avec un signal de fréquence $\text{1} kHz$.

Réponse

le signal est multiplié par un facteur $1,11$, le bruit est atténué d'un facteur $1,6\times 10^{-5}$ d'où un rapport signal sur bruit amélioré d'un facteur $7.10^5$

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard