Valeur efficace

Partie: Electronique

niveau: PT

On étudie le signal créneau de période $T$, de moyenne nulle et d'amplitude crête à crête $2U_0$ représenté ci contre.\ On se propose dans cet exercice de retrouver sa valeur efficace par deux méthodes distinctes.

Question:

Exprimez directement la valeur efficace de ce signal à l'aide de la formule générale de la valeur efficace.

Réponse

Le calcul direct donne $u_{\rm eff}^2 = \dfrac{1}{T} \int_0^T u^2 dt = U_0^2 \Rightarrow u_{\rm eff} = U_0$

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Pour la seconde méthode, on se propose de passer par la décomposition en série de Fourier de ce signal. On a pour un signal périodique :

$$\begin{aligned} u(t) = \sum \limits_{k=0}^\infty a_k \cos(k \omega t) + b_k \sin(k \omega t) \end{aligned}$$

où les coefficients $a_k$ et $b_k$ sont défini par :

$$\begin{aligned} a_k = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t=\tau}^{\tau+T} u(t) \cos(k \omega t) dt \text{~~~et~~~} b_k = \dfrac{2}{T} \int\limits_{t=\tau}^{\tau+T} u(t) \sin(k \omega t) dt \end{aligned}$$

Question:

Exprimez les coefficients $a_k$ et $b_k$ de la décomposition en série de Fourier du signal $u(t)$.

Réponse

Le signal étant impair, sa décomposition en série de Fourier ne fera pas intervenir les termes en cosinus donc $a_k=0,~\forall k \in \mathbb{N}$. Il reste donc à calculer les coefficients $b_k$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{T}{2} &b_k = \int\limits_{t=-T/2}^{0}-U_0 \sin(k \omega t) dt + \int\limits_{t=0}^{T/2} U_0 \sin(k \omega t) dt = 2 U_0\int\limits_{t=0}^{T/2} \sin(k \omega t) dt \\ \Rightarrow ~~~ &b_k = \dfrac{4U_0}{T} \left[ -\dfrac{\cos(k \omega t)}{k \omega} \right]_{0}^{T/2} = \dfrac{2 U_0}{k \pi} \left( 1- \cos(\pi k) \right) = \dfrac{2 U_0}{k \pi} \left( 1- (-1)^k \right) \end{aligned}$$

On en déduit $b_{2k} = 0$ puis $b_{2k+1} = \dfrac{4U_0}{(2k+1) \pi}$

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Question:

En déduire la valeur efficace de $u(t)$. Pour cela, on admettra le résultat suivant :

$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned}$$

Réponse

On a d'après le théorème de Parseval :

$$\begin{aligned} u_{\rm eff}^2 = \sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{a_k^2+b_k^2}{2} = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{4U_0}{(2k+1) \pi} \right) ^2 = \dfrac{8U_0^2}{\pi^2} \underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{1}{\left( 2k+1 \right) ^2}}_{U_\infty} \end{aligned}$$

Cette dernière somme $I_\infty$ peut exprimée en fonction de celle donnée dans l'énoncé. En effet, on a

$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}= \underbrace{\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{\left( 2k+1 \right) ^2}}_{I_\infty} + \underbrace{\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k)^2}}_{P_\infty= \dfrac{\pi^2}{4\times 6} } \Rightarrow I_{\infty} = \dfrac{\pi^2}{6} \left( 1-\dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{\pi^2}{8} \end{aligned}$$

On en déduit au final $u_{\rm eff}^2 = \dfrac{8U_0^2}{\pi^2} \times \dfrac{\pi^2}{8} \Rightarrow u_{\rm eff} = U_0$. On retrouve bien le même résultat qu'à la question précédente.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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