Réflexion et transmission

Partie: Electronique

niveau: PT

Deux câbles coaxiaux différents, d'impédances caractéristiques $Z_1$ et $Z_2$ sont mis bout à bout en $x=0$. Une onde harmonique est émise dans le câble occupant les abscisses $x<0$, qui se propage dans le sens des $x$ croissants.

Question:

Proposez une expression pour les ondes incidente, réfléchie et transmise (courant et tension).

Réponse

On a $\underline{u}_i = u_{0,i}e^{j (\omega t - k_i x)}$ puis $\underline{u}_r = u_{0,r}e^{j (\omega t + k_r x)}$ et $\underline{u}_t = u_{0,t}e^{j (\omega t - k_t x)}$. On obtient le même type de solution pour les courants avec $\underline{i} = \pm \underline{u}/Z$ (+ si propagation dans le sens croissant, - sinon)

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Question:

Quelles sont les deux conditions limites en $x=0$

Réponse

On peut appliquer la loi des nœuds : $i_i(0,t) + i_r(0,t) = i_t(0,t)$ et la loi des maille $u_i(0,t)+u_r(0,t)=u_t(0,t)$

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Question:

Définir et établissez les expressions des coefficients de transmission et de réflexion en amplitude pour la tension à la jonction entre les deux câbles.

Réponse

On a $r = \dfrac{u_r}{u_i}(0,t)$ et $t=\dfrac{u_t}{u_i}(0,t)$. Pour déterminer ces coefficients, on utilise les conditions limites précédentes :

$$\begin{aligned} u_i +u_r = u_t & \Rightarrow 1+r=t \\ \dfrac{u_i}{Z_1} - \dfrac{u_r}{Z_1} = \dfrac{u_t}{Z_2} &\Rightarrow \dfrac{1}{Z_1} - \dfrac{r}{Z_1} = \dfrac{t}{Z_2} \end{aligned}$$

Et on en déduit :

$$\begin{aligned} r= \dfrac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1} \text{~~et~~} t= \dfrac{2Z_2}{Z_2+Z_1} \end{aligned}$$

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Question:

On définit les coefficients de réflexion et transmission en puissance par la valeur absolue du rapport entre la valeur moyenne de la puissance réfléchie/transmise sur la valeur moyenne de la puissance incidente. Calculez ces deux coefficients ; par quelle relation simple sont-ils reliés ?

Réponse

La puissance moyenne incidente a pour expression $<P_i> = <u_i(t)i_i(t)> = \dfrac{1}{2} \dfrac{u_i^2}{Z_1}$. De même, $p_r = -\dfrac{u_r^2}{2Z_1}$ et $p_t = \dfrac{u_t^2}{2Z_2}$.

On en déduit :

$$\begin{aligned} R &= \dfrac{p_r}{p_i} = \left( \dfrac{u_r}{u_i} \right) ^2 = r^2 \\ T &= \dfrac{p_t}{p_i} = \left( \dfrac{u_t}{u_i} \right) ^2 \dfrac{Z_1}{Z_2}= t^2 \dfrac{Z_1}{Z_2}\\ \end{aligned}$$

au passage, on observe que $R+T = r^2 + t^2 = \dfrac{Z^2 + Z_1^2 - 2Z_1Z_2 + 4Z_2Z_1}{(Z_1+Z_2)^2} = 1$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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