Quartz piézo-electrique

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère, comme schéma électrique simplifié équivalent d'un quartz piézo-électrique destiné à servir d'étalon de fréquence dans une horloge, un dipôle $AB$ composé de deux branches en parallèle.

Dans l'une, une inductance $L$ pure en série avec un condensateur de capacité $C$ ; dans l'autre, un condensateur de capacité $C_0$.

On posera $\dfrac{C}{C_0}=a$, et on gardera les variables $L$, $C_0$, $\omega$ et $a$.

Question:

Le dipôle $AB$ étant alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation $\omega$, calculez l'impédance complexe $\underline{Z_{AB}}=\underline{Z}$. Calculez ensuite son module $|\underline{Z}|=Z$, et son argument $\varphi$.

Réponse

Le dipôle $AB$ est en régime sinusoïdal forcé. On représente son équivalent en notation complexe.

Pour simplifier les calculs, on calculera $\underline{Y}$ l'admittance complexe du dipôle.

$$\begin{aligned} \underline{Y}=\underline{Y}_{C_0}+\dfrac{1}{\underline{Z}_L+\underline{Z}_C} \Rightarrow \dfrac{1}{\underline{Z}}=jC_0\omega+\dfrac{1}{\dfrac{1}{jC\omega}+jL\omega}=jC_0\omega +\dfrac{jC\omega}{1-LC\omega^2} \Rightarrow \underline{Z}=\dfrac{1-LC\omega^2}{jC_0\omega(1-LC\omega^2)+jC\omega} \end{aligned}$$

Et avec $C=aC_0$, on en déduit

$$\begin{aligned} \underline{Z}=-j\dfrac{1-aLC_0\omega^2}{C_0\omega(1+a-aLC_0\omega^2)} \Rightarrow Z=\dfrac{|1-aLC_0\omega^2|}{C_0\omega|1+a-aLC_0\omega^2|} \text{ et } \varphi=\pm \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$

car $\underline{Z}$ est un imaginaire pur.

---

Question:

Étudiez l'impédance $\underline{Z}$ en fonction de la pulsation ; pour cela :

• on précisera tout particulièrement les limites de $Z$ quand $\omega$ tend vers zéro ou l'infini ;

• on appellera $\omega_1$ et $\omega_2$, les valeurs finies non nulles de la pulsation pour lesquelles $Z$ est respectivement nulle et infinie. Quel est le comportement électrique simple de $AB$ pour $\omega=\omega_1$ et $\omega=\omega_2$ ?

Donnez $Z=f(C_0,\omega,\omega_1,\omega_2)$.

Réponse

Etude de $\underline{Z}$ : $Z(\omega)=\dfrac{|N(\omega)|}{|D(\omega)|}$ est le rapport d'un polynôme du second degré $N(\omega)=1-aLC_0\omega^2$ par un polynôme de degré trois $D(\omega)=C_0\omega|1+a-aLC_0\omega^2|$ en $\omega$.

• Quand $\omega \to 0$, $N(\omega) \to 1$ et $D(\omega) \to 0$ donc $Z(\omega) \to \infty$. De même, quand $\omega \to \infty$, $N(\omega) \to -aLC_0\omega^2$ et $D(\omega) \to -aLC_0^2\omega^3$ donc $Z(\omega) \to \dfrac{1}{C_0\omega} \to 0$.

• La pulsation $\omega_1$ finie pour laquelle $Z \to 0$ vérifie $N(\omega_1)=0 \Rightarrow \omega_1=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{aLC_0}}$.

  De même, $\omega_2 \neq 0$ pour laquelle $Z \to \infty$ ($AB$ $\leftrightarrow$ interrupteur ouvert, $I \to 0$, anti résonance) vérifie $D(\omega_2)=0 \Rightarrow 1+a-aLC_0\omega_2^2=0 \Rightarrow \omega_2=\sqrt{\dfrac{a+1}{aLC_0}}=\omega_1\sqrt{a+1} > \omega_1$. Pour $\omega \simeq \omega_1$, $AB$ se comporte comme un interrupteur fermé et quand $\omega \simeq \omega_2$, $AB$ se comporte comme un interrupteur ouvert.

  On peut écrire $Z$ sous la forme $<span><span class="MathJax_Preview">Z=\dfrac{|\omega^2-\omega_1^2|}{C_0\omega|\omega^2-\omega_2^2|}</span><script type="math/tex">Z=\dfrac{|\omega^2-\omega_1^2|}{C_0\omega|\omega^2-\omega_2^2|}$

---

Question:

Représentez graphiquement $Z$ en fonction de $\omega$.

Réponse

On en déduit le graphe $Z(\omega)$ : asymptotes verticales en $\omega \to 0$ et $\omega_2$ et $Z \to 0$ pour $\omega=\omega_1<\omega_2$ et $\omega \to \infty$.

---

Question:

Précisez par un graphe à main levée, et sans aucun calcul, comment qualitativement est modifié la courbe $Z=f(\omega)$ si l'on tient compte de la résistance du bobinage d'inductance $L$.

Réponse

La présence d'une résistance interne au dipôle $AB$ va empêcher $Z$ d'atteindre une valeur nulle ou infinie, cela va donc "lisser" la courbe précédente.

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : ?