Phénomène d'écrantage

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

On considère un conducteur plan infini d'équation $x=0$ portant une charge surfacique uniforme positive égale à $\sigma$.

Question:

Déterminez la valeur du champ $\vec{E}_0$ en tout point du demi-espace vide.

Réponse

Par symétrie, on peut montrer que $\vec E_0 (\vec r) = E_0(x) \vec e_x$ pour $x>0$. On peut donc appliquer le théorème de gauss sur un pavé de section S allant de $x=-X$ à $x=X$ :

$$\begin{aligned} E_0(X) S + E_0(-X) S = \dfrac{S \sigma}{\epsilon_0} \Rightarrow E_0(X) = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} \end{aligned}$$

Car en effet, on a $E_0(X) = E_0(-X)$ par symétrie (les champs électriques en $+x$ et $-x$ sont opposés et de mêmes normes.). On en déduit que le champ électrique créé par cette distribution ne dépend pas de $x$ : $\vec E_0 = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} \vec e_x$

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Question:

En déduire, à une constante près, l'expression de $V_0(x)$ en tout point du demi-espace vide.

Réponse

On a par définition du potentiel électrique $\vec E_0 = - \vec \nabla V$ d'où l'on déduit en coordonnées cartésiennes :

$$\begin{aligned} \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} = - \dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x} \Rightarrow V = - \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} x +c \end{aligned}$$

avec $c$, une constante.

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On place alors voisinage du conducteur métallique une distribution volumique uniforme de charge dont la densité volumique de charge est notée $\rho$, répartie dans la tranche comprise entre les valeurs $x=0$ et $x=L$. La charge volumique $\rho$ est de signe opposé à $\sigma$.

Question:

Déterminez l'expression du champ $\vec{E}_{tot}$ en tout point de l'intervalle $[0,L]$.

Réponse

Le champ totale est la superposition du champ précédant et du champ créé par la nouvelle distribution (cette fois ci volumique). On calcule alors le champ créé par la nouvelle distribution en remarquant que $\vec E_v(\vec r) = E_v(x) \vec e_x$ (mêmes symétries que la distribution surfacique précédente).

Pour cela, on utilise à nouveau le théorème de Gauss sur un pavé de section $S$ entre les abscisses $x=L/2-X$ et $x=L/2+X$ (le champ électrique y est identique en norme par symétrie) :

$$\begin{aligned} \underbrace{E_v(L/2-X)}_{\text{suivant } -\overrightarrow{e_x} }S + \underbrace{E_v(L/2+X)}_{\text{suivant } \overrightarrow{e}_x }S = \dfrac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0} = 2XS \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \Rightarrow E_v(L/2+X) = \dfrac{\rho X}{\epsilon_0} \end{aligned}$$

On pose alors $x = L/2 + X$ soit $X = x-L/2$ et on obtient $\vec E_v(x)=\dfrac{\rho (x-L/2)}{\epsilon_0} \vec e_x$

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Question:

Montrez que $\vec{E}_{tot}$ est uniforme pour toute valeur $x>L$.

Réponse

Lorsque $x>L$, on se retrouve au cas de la question 1) (similarité avec la distribution de charge surfacique dès lors que l'on se trouve au delà de la distribution de charge volumique.) On peut encore déterminer $E_v$ à l'aide du théorème de Gauss et on trouve :

$$\begin{aligned} \vec E_v(x>L) = \dfrac{\rho L}{2\epsilon_0} \vec e_x \end{aligned}$$

Le champ total vaut donc :

$$\begin{aligned} \vec E_{tot}(x>L) = \vec E_0 + \vec E_1 = \dfrac{\rho L+\sigma}{2\epsilon_0} \vec e_x \end{aligned}$$

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On dit que la distribution de charge écrante la distribution surfacique de charge lorsque le champ $\vec{E}_{tot}$ s'annule pour tout $x>0$.

Question:

Donnez la relation portant sur $\sigma$, $\rho$ et $L$ pour laquelle la condition d'écrantage est satisfaite. Dans la suite, on suppose cette condition vérifiée.

Réponse

On a écrantage lorsque $E_{tot}=0$ pour $x>L$ soit lorsque $\rho = -\dfrac{\sigma}{L}$

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Question:

Donnez l'expression de $V_{tot}(x)$ en tout point du demi-espace $x>0$. On choisira conventionnellement $V_{tot}(L)=0$.

Réponse

Pour $0<x<L$, on a $V_e(x) = \dfrac{\rho (-x^2+Lx)}{2\epsilon_0}$ et donc $V_{tot}(x <L) = -\dfrac{\sigma (-x^2+Lx)}{2L\epsilon_0} - \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} x +c$ soit au final :

$$\begin{aligned} V_{tot}(x <L) = \dfrac{\sigma L}{\epsilon_0} \left( \left( \dfrac{x}{L} \right) ^2 -2\left( \dfrac{x}{L} \right) +c' \right) \end{aligned}$$

avec $V_{tot}(L)=0$, on trouve $c'=1$. De plus, lorsque $x>L$, le champ électrostatique est nul donc $V$ est constant (et égal à 0 par continuité en $x=L$).

soit au final :

$$\begin{aligned} V_{tot} (x<L) &= \dfrac{\sigma L}{\epsilon_0} \left( \dfrac{x}{L}-1 \right) ^2 \\ V_{tot} (x\ge L) &= 0 \end{aligned}$$

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Question:

Représentez graphiquement l'amplitude de $\vec{E}_{tot}$ en fonction de $x$. Tracez également l'allure du carré du champ.

Réponse

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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