Cycle d'un gaz parfait

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Un réservoir contient un volume $V_0$ d'un gaz parfait monoatomique à une température $T_0$ et une pression $p_0$.

On réalise la suite des transformations quasi statiques suivante :

Question:

Représentez le cycle réalisé dans le diagramme de Watt $p(V)$.

Réponse



On travaille sur le système thermodynamique : { gaz parfait monoatomique (GPM)}.

On peut résumer la suite de transformations subies par le GPM sous la forme suivante :

Transformation (a) , $0 \to 1$ : $V=Cte \Rightarrow \dfrac{T}{p}=Cte$ et $T$ augmente donc $p$ croît : verticale ascendante.

Transformation (b) , $1 \to 2$ : détente adiabatique réversible. $p$ diminue donc fortement et $V$ augmente et $T$ diminue.

Transformation © , $2 \to 1$ : compression isotherme d'un GP d'où $pV=Cte$, $p$ augmente quand $V$ diminue, allure hyperbolique.

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Question:

Précisez pour chaque transformation (a), (b), © le travail échangé, le transfert thermique et la variation d'énergie interne du gaz parfait en fonction des seules données $p_0$ , $V_0$ , $T_0$ et $T_1$.

Réponse

Étude énergétique :

Transformation (a) isochore $V=Cte \Rightarrow \delta W=-p_edV=0$ d'où $W_a=0$ et $\Delta U_a=W_a+Q_a=Q_a=C_V(T_1-T_0)$ avec $C_V=\dfrac{3}{2}nR$ et en utilisant l'équation d'état en 0, $p_0V_0=nRT_0 \Rightarrow nR=\dfrac{p_0V_0}{T_0}$ d'où finalement

$$\begin{aligned} Q_a=\Delta U_A=\dfrac{3p_0V_0(T_1-T_0)}{2T_0}=\dfrac{3}{2}p_0V_0\bigg(\dfrac{T_1}{T_0}-1\bigg) \end{aligned}$$

Transformation (b) adiabatique d'où $Q_b=0$ et

$$\begin{aligned} W_b=\Delta U_b=C_V(T_0-T_1)=-\Delta U_a=-\dfrac{3}{2}p_0V_0\bigg(\dfrac{T_1}{T_0}-1\bigg) \end{aligned}$$

Transformation © isotherme d'un GP d'où $U=Cte \Rightarrow \Delta U_c=0$ et $Q_c=-W_c$ avec

$$\begin{aligned} \delta W=-p_e.dV=-p.dV=-nRT_0\dfrac{dV}{V}=-p_0V_0\dfrac{dV}{V} \Rightarrow W_c=-p_0V_0\ln \dfrac{V_0}{V_2} \end{aligned}$$

Pour exprimer ce résultat en fonction des températures $T_0$ et $T_1$, on utilise une des relations de Laplace (valables lors de ©) : $pV^\gamma=Cte$ et $pV=Cte$ $\Rightarrow TV^{\gamma-1}=Cte$ d'où ici entre 1. et 2. ($T_2=T_0$, $V_1=V_0$) ,

$$\begin{aligned} T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_2^{\gamma-1} \Rightarrow T_1V_0^{\gamma-1}=T_0V_2^{\gamma-1} \Rightarrow \ln \bigg(\dfrac{V_0}{V_2}\bigg)^{\gamma-1}=\ln \dfrac{T_0}{T_1} \Rightarrow \ln \dfrac{V_0}{V_2}=\dfrac{1}{\gamma-1}\ln \dfrac{T_0}{T_1} \end{aligned}$$

avec $\gamma=\dfrac{5}{3}$ (gaz parfait monoatomique).

$$\begin{aligned} \Rightarrow Q_c=-W_c=p_0V_0\ln \dfrac{V_0}{V_2}=\dfrac{p_0V_0}{\gamma-1}\ln \dfrac{T_0}{T_1}=\dfrac{3p_0V_0}{2}\ln \dfrac{T_0}{T_1}<0 \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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