Libre parcours moyen

Partie: Chimie

niveau: PTSI

Les molécules constituant l'air sont modélisées par des sphères dures de diamètres $d$ réparties avec une densité volumique $n^*$. On s'intéresse à une molécule donnée, toutes les autres étant supposées immobiles.

La molécule considérée possède une vitesse de norme constante égale à la vitesse quadratique moyenne $v^*$. Elle se déplace suivant une ligne brisée suite à ses collisions avec les autres molécules.

Question:

A partir de quelle distance $d_c$ entre deux molécules y-a-t-il collision ?

Réponse

C'est $d_c = d$ (attention, ce n'est pas $r$, il faut faire un schéma pour s'en convaincre si besoin)

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Question:

On définit le volume utile balayé par la molécule considérée de la manière suivante : une molécule dont le centre est situé dans le volume utile sera percutée par la molécule considérée au cours de son mouvement. Estimez le volume utile $V_u$ ainsi balayé au cours de la durée $\Delta t$ du mouvement d'une molécule.

Réponse

Il s'agit d'un cylindre de longueur $L=\Delta t v^*$ et de rayon $d$, donc de volume $V_u=\pi d^2\Delta t v^*$

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Question:

En déduire le nombre de collisions subies (en moyenne) par la molécule pendant la durée $\Delta t$

Réponse

Dans ce volume, il y a $N=n*V_u$ particules, c'est-à-dire $\pi d^2\Delta t v^*n^*$, il y a donc autant de chocs. La durée entre deux chocs est donc de $\tau=\dfrac{\Delta t}{N}=\dfrac{1}{\pi d^2 v^*n^*}$

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Question:

Exprimez alors le libre parcours moyen $\overline l$ de la molécule. Vérifiez l'homogénéité du résultat.

Réponse

Le libre parcours moyen est alors $v^*\tau=\dfrac{1}{\pi d^2 n^*}$. Dimensionnellement [$n^*$]=L$^{-3}$ et [$d$]=L donc $\left [\dfrac{1}{\pi d^2n^*}\right]=\mathtt{L}^{-2}\mathtt{L}^3$ et le résultat est bien homogène.

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Question:

Donnez son ordre de grandeur pour de l'air à pression et température usuelle. (on donne $d=\text{300} pm$ et $k_B=\text{1,38e-23} J/K$)

Réponse

Il nous faut d'abord $n^*$, pour cela on utilise $pV=Nk_BT\Rightarrow n^*=\dfrac{N}{V}=\dfrac{p}{k_BT}\simeq \dfrac{10^5}{1,38\times 10^{-23}\times 293}\simeq \text{2,5} m^{-3}$ d'où $\overline l =\text{1,4e-7} m \simeq \text{140} nm$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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