Charges successives d'un condensateur

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On souhaite charger un condensateur initialement déchargé à l'aide d'un GBF de f.e.m. réglable $E$ et de résistance interne $r$.

Question:

On effectue dans un premier temps la charge en une étape. Effectuer un schéma du montage puis obtenez l'équation différentielle dont $u_c$ (la tension aux bornes du condensateur est solution).

Réponse

On obtient par application de la LDM :

$$\begin{aligned} \boxed{ \dfrac{\mathrm{d} u_c}{\mathrm{d} t} + \dfrac{1}{rC} u_c = \dfrac{E}{rC}} \end{aligned}$$

et on posera $\tau = rC$

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Question:

Résoudre l'équation et en déduire les expressions des énergies stockées dans le condensateur et fournie par le générateur lors du régime transitoire. Exprimer finalement le rendement de la charge.

Réponse

à $t=0^-$, on a $u_c(0^-)=0$ (condensateur initialement déchargé). Or $u_c$ est une fonction continue du temps donc $u_c(0^+)=u_c(0^-)=0$. On a de plus $u_c(t) = Ae^{-t\tau} +E,~~~forall t>0$ d'où l'on déduit $E=-E$ par application de la CI. On obtient au final :

$$\begin{aligned} \boxed{ u_c(t) = E \left( 1-e^{-t/\tau} \right) } \end{aligned}$$

On obtient ensuite :

$$\begin{aligned} E_{c,s} = E_{c,+\infty} - E_{c,0} = \dfrac{1}{2}CE^2 \end{aligned}$$

et

$$\begin{aligned} E_f = \int\limits_{t'=0}^{+\infty} E i dt = \int\limits_{t'=0}^{+\infty} E C \dfrac{\mathrm{d} u_c}{\mathrm{d} t} dt = EC (E-0) = Ce^2 \end{aligned}$$

On en déduit au final $\boxed{\eta = E_{c,s}/E_f} = 1/2$.

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Afin d'améliorer le rendement, on se propose alors d'effectuer la charge en deux étapes. Une première charge partielle sous f.e.m. $E/2$, puis, une fois le premier régime transitoire terminé, une deuxième charge sous f.e.m. $E$.\ On notera encore une fois $t=0$, l'instant initial de la deuxième charge.

Question:

Exprimer alors les énergies stockées dans le condensateur et fournie par le générateur lors de la seconde phase de charge

Réponse

On adapte les résultats obtenus aux questions précédentes et on trouve

$$\begin{aligned} u_c = Be^{-t\tau} + E \text{~~avec~~} u_c(0^+) = E/2 = A+E \Rightarrow u_c(t) E\left( 1 - \dfrac{e^{-t/\tau}}{2} \right) \end{aligned}$$

De même, on trouve $E_{c,s,2} = E_{c,+\infty} - E_{c,0} = \dfrac{1}{2}CE^2 - \dfrac{1}{8}CE^2$ et :

$$\begin{aligned} E_{f,2} = CE (u_c(+\infty) - u_c(0)) = \dfrac{CE^2}{2} \end{aligned}$$

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Question:

En déduire le rendement de la charge en deux étapes.

Réponse

Pour calculer le rendement, on ajoute les energies pour les deux phases en adaptant les formules pour la phase 1 ($E \to E/2$) :

$$\begin{aligned} \eta' = \dfrac{E_{c,s,1} + E_{c,s,2}}{E_{f,1} + E_{f,1}} = \dfrac{ \dfrac{1}{2}CE^2 }{ \dfrac{1}{4}CE^2 + \dfrac{1}{2}CE^2} = \dfrac{2}{2+1} \approx 0,67 \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : inventé