Filtre RC réglable

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Soit le circuit représenté ci-contre et pour lequel $u_e$ est une tension sinusoïdale de pulsation $\omega$ et $u_s$ la tension de sortie. $\alpha$ peut varier entre 0,1 et 10 puis $R=\text{1} k\Omega$ et $C=\text{2} \mu F$.

Question:

De quel type de filtre s'agit-il ?

Réponse

En BF, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert donc on observe un pont diviseur de tension d'où :

$$\begin{aligned} u_{s,BF} = \dfrac{\alpha}{\alpha+1-\alpha } u_e = \alpha u_e \end{aligned}$$

De même, en HF, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé et donc $u_{s,HF} = 0$. On en déduit alors qu'il s'agit d'un filtre de type passe bas.

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Question:

Déterminez la fonction de transfert $\underline{H}$ de ce filtre et la mettre sous la forme

\begin{aligned} \underline{H}=\dfrac{G_0}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_0}} \end{aligned} . Précisez la signification de $G_0$ et $\omega_0$.

Réponse

On observe un pont diviseur de tension formé par le résistor de gauche et par le dipole RC à droite :

$$\begin{aligned} &\underline{H} = \dfrac{Z_{eq}}{(1-\alpha) R + Z_{eq} } = \dfrac{1}{1+ (1-\alpha) R/Z_{eq} } = \dfrac{1}{1 + (1-\alpha)R (1/(\alpha R) + jC\omega)} = \dfrac{1}{1/\alpha +(1-\alpha) jRc\omega}\\ \Rightarrow &\boxed{ \underline{H} = \dfrac{\alpha}{1+j\alpha(1-\alpha)RC\omega}} \end{aligned}$$

On obtient par identification $G_0 = \alpha$ et $\omega_0 = \dfrac{1}{\alpha(1-\alpha)RC}$

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Question:

Tracez le diagramme de Bode en amplitude pour $\alpha=1$ puis $\alpha=0.1$ sur la même figure.

Réponse

Pour $\alpha = 1$, on a uniquement un dipole RC en parallèle et donc $u_s = u_e$. Le diag de Bode en gain est donc contant (gain de 0dB) car la sortie est égale à l'entrée.\ Pour $\alpha = 0.1$, on a un diag. de Bode d'un filtre passe bas du premier ordre avec $\omega_c = \omega_0 \approx \text{5,56} rad.s^{-1}$

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Question:

Calculez l'impédance d'entrée $\underline{Z}_e$ de ce filtre.

Réponse

L'impédance d'entrée vaut ici $Z_{eq}' = (1-\alpha)R + \dfrac{\alpha R/(jC\omega) } {\alpha R + 1/(jC\omega)} = (1- \alpha )R + \dfrac{\alpha R}{ 1 + j\alpha RC \omega} = R\dfrac{1+ j \alpha(1-\alpha) RC\omega}{1+ j \alpha RC\omega}$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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