Particule guidée le long d'une cycloïde

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Une masse $m$ ponctuelle est amenée à se déplacer sans frottement sur une cycloïde d'équation dans le plan vertical $xOy$ :

$$\begin{aligned} \begin{cases} x&=\;\,\,\,R(\theta-\sin \theta) \\ y&=-R(1-\cos \theta) \end{cases} \end{aligned}$$

$\theta$ est un paramètre tel que $0<\theta<2\pi$ qui ne correspond pas à un angle. La masse est lâchée en $O$ sans vitesse initiale.

Question:

Montrez, par un raisonnement énergétique, que le mouvement aura lieu avec une vitesse paramétrique $\dot{\theta}$ constante.

Réponse

$E_m=Cte=0=mR(1-\cos \theta)(R\dot{\theta}^2-g) \iff \dot{\theta}=\sqrt{\dfrac{g}{R}}$.

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Question:

En déduire l'expression de la période du mouvement.

Réponse

$T=4\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : Ex et Pbs de Mécanique Ellipse