Moteur à courant continu

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

On s'intéresse à l'utilisation d'un moteur en traction automobile. On rappelle le schéma équivalent du moteur à courant continu à excitation séparée : $u$ représente la tension aux bornes de l'induit et $i$ l'intensité du courant le traversant. On néglige les frottements.\ Dans un premier temps, le moteur est soumis à un couple résistant constant $C_r = \text{60} N.m$ puis un essai réalisé avec $u = \text{120} V$ donne les résultats suivants :

• Fém $E = \text{100} V$

• Vitesse de rotation $\Omega = \text{3200} tours/minute$

Le moment d'inertie de la partie mobile entraînée par le moteur vaut $J = \text{1,5} kg.m^2$ et la relation entre la vitesse de rotation du moteur et la vitesse $v$ du véhicule est $\Omega = \lambda v$ avec $\lambda = \text{35} (tours/minutes)/(km/h)$

Question:

Rappeler les relations existant entre les grandeurs électriques $E$ et $i$ et mécaniques $\Omega$ et $C$ (couple moteur).

Réponse

On a $E = K \Omega$ et $C = K i$.

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Question:

Déterminer la valeur de R, résistance de l'induit.

Réponse

On obtient d'après la LdM $u_R = u-E = Ri$ d'où l'on déduit $R = \dfrac{u-E}{i}$. Il reste alors à déterminer le courant $i$. On a pour cela $K = E/\Omega$ puis $i = c/K = c\Omega/E$. On combine ces résultats et on obtient :

$$\begin{aligned} R = \dfrac{u-E}{C\Omega}E \approx \text{0,1} \Omega \end{aligned}$$

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Question:

On considère à présent un fonctionnement à couple moteur $C$ constant ($C = \text{60} N.m$) et on étudie la phase de « mise en vitesse » d'un véhicule sur une route horizontale. Le moment du couple résistant varie alors suivant une loi du type $C_r = a\Omega + b$ avec $a = \text{0,01} N.m/(rad/s)$ et $b = \text{5} N.m$. Exprimer puis calculer le temps $\Delta t$ mis par le véhicule pour passer de $0$ à $v_0 = \text{50} km/h$

Réponse

On applique le TMC à l'arbre moteur dans un réf d'étude galiléen :

$$\begin{aligned} J \dfrac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t} = C- a\Omega -b \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} + \dfrac{1}{\tau} v = \dfrac{C-b}{J \lambda} \text{~avec~} \tau = \dfrac{J}{a} \end{aligned}$$

On en déduit $v(t) = \alpha e^{-t/\tau} + \dfrac{C-b}{\lambda a}$ et on cherche $\Delta t$ tel que $v(\Delta t) = v_0$. On obtient alors :

$$\begin{aligned} \Delta t = - \tau \ln\left( 1- \dfrac{\lambda a v_0}{C-b} \right) \approx \text{1,4} s \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : obtenu sur le site studylib