Optimisation d'un trajet

Partie: Optique

niveau: PTSI



Soit une plage $P$, séparation entre deux milieux différents : le sable (milieu (1)) et la mer (milieu (2)).

Un point $A_1$ sur le sable est à la distance $A_1H_1=a_1$ de $P$. Un point $A_2$ en mer est à la distance $A_2H_2=a_2$ de $P$. On pose $H_1H_2=d$.

Un maître nageur $I$ est en $A_1$ au moment où il repère un petit chien en difficulté en $A_2$.

Il peut courir sur le sable à la vitesse $v_1$ et nager à la vitesse $v_2<v_1$, on notera $\tau$ la durée du parcours $A_1OA_2$.

Question:

Quel trajet doit-il emprunter pour rejoindre $A_2$ le plus rapidement possible ? On déterminera d'abord l'équation que doit vérifier $x=H_1O$, puis on simplifiera l'expression obtenue en introduisant les angles $\alpha_1=(\overrightarrow{A_1H_1},\overrightarrow{A_1O})$ et $\alpha_2=(\overrightarrow{A_2H_2},\overrightarrow{A_2O})$

Réponse

On décompose $\tau=\tau_1+\tau_2=\dfrac{A_1O}{v_1}+\dfrac{OA_2}{v_2}$ la durée du parcours sur les deux parties du trajet.

Par utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle $A_1H_1O$, on détermine

$A_1O^2=A_1H_1^2+H_1O^2=a^2+x^2$ et de même, dans $A_2OH_2$ on lit $A_2I^2=A_2H_2^2+OH_2^2=b^2+(d-x)^2$.

D'où $\tau=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\dfrac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{v_2}$

$\tau$ est une fonction de $x$, elle est minimale quand sa dérivée par rapport à la variable $x$ s'annule.

On part donc de l'équation $\dfrac{d\tau}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{d}{dx} \Big[\dfrac{(x^2+a^2)^\dfrac{1}{2}}{v_1}+\dfrac{(b^2+(d-x)^2)^\dfrac{1}{2}}{v_2} \Big]=0$

$$\begin{aligned} \Rightarrow \dfrac{1}{v_1}\dfrac{1}{2}(x^2+a^2)^{-\dfrac{1}{2}}\times 2x+\dfrac{1}{v_2}\dfrac{1}{2}(b^2+(d-x)^2)^{-\dfrac{1}{2}} \times 2(d-x)(-1)=0 \end{aligned}$$

D'où après simplification,

$$\begin{aligned} \dfrac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}-\dfrac{d-x}{v_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}}=0 \end{aligned}$$

En remarquant que $\sin i_1=\dfrac{H_1O}{A_1O}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ et $\sin i_2=\dfrac{OH_2}{IA_2}=\dfrac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$ on obtient la relation $\dfrac{\sin i_1}{v_1}=\dfrac{\sin i_2}{v_2}$.

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Question:

A quelle loi physique l'expression obtenue vous fait-elle penser ?

Réponse

Cette relation ressemble étrangement à la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. On retrouve bien la relation $n_1 \sin i_1=n_2 \sin i_2$ en posant $n_1=\dfrac{c}{v_1}$ et $n_2=\dfrac{c}{v_2}$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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