Rails de Laplace

Partie: Electromagnetisme

niveau: PTSI

On considère un plan dont la normale fait un angle $\alpha$ avec la verticale.

Dans ce plan, on créé un circuit électrique rectangulaire constitué par deux rails rectilignes fixes (chacun se trouvant dans un plan vertical) séparés par une d'une longueur $a$ et reliés à une extrémité par un conducteur horizontal.

Le circuit est fermé grâce à une barre conductrice ($AD$) de masse $m$ juste posée et qui peut glisser sans frottement.

Le circuit est parcouru par un courant d'intensité $I$ et se trouve plongé dans un champ magnétique vertical.

Question:

On considère dans un premier temps uniquement la tige AD soumise a un courant I. Etablissez une expression pour la force exercée par le champ magnétique sur ce rail en considérant que seuls les électrons sont en mouvement.

Réponse

La barre plongée dans $\vec{B}$ et traversée par un courant $I$ est soumise à son poids $\vec{p}$ vertical descendant, à la réaction du support $\vec{R}$ normale à ce dernier et à la force de Laplace $\vec{F}=\int d\vec{F}$ où $d\vec{F}=I.\vec{dl} \wedge \vec{B}$.

Chaque $d\vec{F}$ est normale à $\vec{B}=B.\vec{e}_z$ vertical et à $I\vec{dl}$ colinéaire à $\vec{e}_y$.

$d\vec{F}$ est donc horizontale et doit être orienté selon $-\vec{e}_x$ pour que la somme vectorielle des forces soit nulle afin d'assurer l'équilibre de la barre. La règle de la main droite permet de déterminer alors le sens de $I.\vec{dl}$ : $I$ doit être orienté de $D$ vers $A$.

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Question:

Sur un schéma clair, définissez le sens du courant qui doit traverser la barre pour que celle-ci puisse rester à l'équilibre.

Réponse

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Question:

Quelle est l'expression de $I$ permette de maintenir la barre à l'équilibre ?

Réponse

Sur les figures ci-dessus, on a ramené la résultante des forces au centre $M$ de la barre. $<span><span class="MathJax_Preview">\vec{F}=\int_{DA} d\vec{F}=\int_{DA} I.\vec{dl} \wedge \vec{B}=I \int_{DA} -dl.B\vec{e}_x=-IB\int_{DA}\vec{dl}=-IaB \vec{e}_x</span><script type="math/tex">\vec{F}=\int_{DA} d\vec{F}=\int_{DA} I.\vec{dl} \wedge \vec{B}=I \int_{DA} -dl.B\vec{e}_x=-IB\int_{DA}\vec{dl}=-IaB \vec{e}_x$ Dans le triangle rectangle en $H$, on lit $\tan \alpha=\dfrac{F}{p}=\dfrac{IaB}{mg} \Rightarrow I=\dfrac{mg \tan \alpha}{aB}$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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