Ecoulement autour d'un cylindre

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

L'écoulement permanent (vitesse $v_0 \vec e_z$) d'un fluide incompressible est perturbé par la présence d'un cylindre de rayon $R$ centrée en $O$. On suppose l'écoulement irrotationnel et on se place en coordonnées polaires.

On donne de plus l'expression du potentiel des vitesses $\phi$ tel que $\vec v = \overrightarrow{\text{grad}} \phi$ :

$$\begin{aligned} \phi = \left( Ar+\dfrac{B}{r} \right) \cos(\theta) \end{aligned}$$

On rapelle de plus que le laplacien s'écrit en coordonnées cylindriques :

$$\begin{aligned} \Delta \phi = \text{div} \left( \overrightarrow{\text{grad}} \phi \right) = \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial \phi}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} \end{aligned}$$

et que le gradient s'écrit :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\text{grad}} = \dfrac{\partial \phi}{\partial r} \vec e_r+ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial \phi}{\partial \theta} \vec e_\theta \end{aligned}$$

Question:

Vérifiez que l'écoulement est bien incompressible.

Réponse

on a $\text{div} \vec v = \Delta \phi$. Après calculs, on obtient bien un écoulement incompressible.

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Question:

Determinez le champ de vitesse et trouver les expressions de $A$ et $B$ à l'aide des conditions limites.

Réponse

On trouve $A = v_0$ puis $B = v_0 R^{3/2}$

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Question:

Tracez l'allure des lignes de courant autour de la sphère.

Réponse

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : M. Desrousseaux