Mesure d'une masse volumique (résolution de problème)

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

On fait apparaître des vibrations sur une corde à l'aide d'un vibreur externe (non représenté ici) et dans un premier temps on observe le résultat (a).\ Dans un second temps, on immerge la sphère de masse $m$ dans un récipient contenant de l'eau et on observe le résultat (b).

Question:

Estimez la masse volumique de la sphère.

Réponse

On sait que $c = \sqrt{T/\mu}$ où $T$ désigne la tension de la corde. Pour une même fréquence d'excitation, on passe de $\lambda$ à $\lambda'=\lambda/2$ donc $k'=2k$ soit d'après la relation de dispersion $k'c'=\omega=kc$ d'où $c'=c/2$.\ On en déduit que $\dfrac{c'}{c}=\sqrt{\dfrac{T'}{T}} \Rightarrow T' = T/4$.

De plus, on peut appliquer le PFS en projection selon l'axe vertical à la boule dans les situations $a$ et $b$ :

$$\begin{aligned} (a) : T-mg = 0 &\Rightarrow T = mg = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \rho_m g \\ (b) : T' + \rho_e V g - \rho_m V g = 0 &\Rightarrow T' = (\rho_m-\rho_e) \dfrac{4}{3}\pi r^3g \end{aligned}$$

On obtient donc $T'/T = 1/4 = \dfrac{\rho_m-\rho_e}{\rho_m}=1 - \dfrac{\rho_e}{\rho_m}$ soit au final $\rho_m = \dfrac{4}{3}\rho_e$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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