Valeur efficace et théorème de Parseval

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère un signal créneau d'amplitude crête à crête $2,5~V$ et de valeur moyenne $3~V$.

Question:

Représenter le signal.

Réponse



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Question:

Calculer la valeur efficace de ce signal.

Réponse

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On admet qu'un tel signal peut s'écrire sous la forme

$$\begin{aligned} E_0 + \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{2E}{\pi}\dfrac{1}{2k+1}\sin( 2\pi (2k+1) f_0 t) \end{aligned}$$

où $f_0$ est la fréquence du signal créneau et $E$ son amplitude crête à crête.

Question:

Représenter le spectre de ce signal.

Réponse

 $\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2k+1}\sin( 2\pi (2k+1) f_0 t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2k+1}\cos( 2\pi (2k+1) f_0 t-\dfrac{\pi}{2})$ donc on peut lire directement les coefficient de Fourrier, coef pair : 0 coef impairs : $\dfrac{1}{k}$ (avec $k$ impair).

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Question:

Calculer à nouveau la valeur efficace de ce signal en utilisant le théorème de Parseval. On admettra pour cela le résultat suivant :

$$\begin{aligned} \sum_{p=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned}$$

Réponse

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Question:

Un capteur fonctionne généralement sur une bande de fréquence réduite appelée bande passante. Est-ce un problème ? Si oui, est-ce plus gênant dans le cas d'un signal créneau ou d'un signal triangle ?

Réponse

Oui c'est un problème : si on ne prend pas toutes les fréquences, le signal n'est pas le même et est donc déformé par rapport à celui que l'on voulait acquérir. C'est plus gênant dans le cas du créneau parce que les harmoniques décroissent moins vite.

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On considère cette fois un signal dont le spectre est : $c_n=\dfrac{1}{n}$ et pour lequel $\varphi_n=+\dfrac{\pi}{2}+n\pi$ soit

$$\begin{aligned} s(t) = \sum_{n = 1}^{+\infty} c_n\cos(2\pi \times n \times f_0 + \varphi_n) \end{aligned}$$

Question:

Représenter le spectre puis donner l'expression du signal $s(t)$, tracez le à la calculatrice ou à l'ordinateur (vous pouvez prendre une valeur arbitraire pour $f_0$ et ne faire la somme que sur une dizaine de termes).

Réponse

$\sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{i+1}}{i}\cos (2\pi i\,f\,t)$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : Vincent Grenard

source(s) : n.a.