Champ électrostatique dans une cavité

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

Question:

Démontrez le théorème de pour le champ électrostatique.

Réponse

On part de l'équation de Maxwell-Gauss :

$$\begin{aligned} \text{div} \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \Rightarrow \iint \vec E \cdot d\vec S = \dfrac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0} \end{aligned}$$

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Une sphère de centre $O_1$ et de rayon $R_1$ de densité de charge volumique uniforme $\rho_e$ est percé d'un trou sphérique de centre $O_2$ et de rayon $R_2$ (donc de densité de charge volumique nulle). On cherche à déterminer le champ électrostatique à l'intérieur de cette sphère.

Question:

Donnez le champ électrostatique $\ve_1$ créé par une sphère de centre $O_1$ et de rayon $R_1$, de densité de charge volumique uniforme $\rho_e$, au point $M$ (dans le cas où $M$ est à l'intérieur de cette première sphère). On l'exprimera alors en fonction du vecteur $\overrightarrow{O_1M}$.

Réponse

On a un problème à symétrie sphérique donc un a $\ve_1(\vec r) = \mathcal{E}_1(r) \vec e_r$. D'après le théorème de Gauss, on obtient :

$$\begin{aligned} \mathcal{E}_1(r) \times 4 \pi r^2 = \dfrac{\rho_e}{\epsilon_0} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow \mathcal{E}_1(r) = \dfrac{\rho_e r}{3\epsilon_0} \end{aligned}$$

Soit au final $\ve_1 = \dfrac{\rho_e}{3 \epsilon_0} \overrightarrow{O_1M}$ car $r \vec e_r = \overrightarrow{O_1M}$

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Question:

Déterminez le champ électrostatique $\ve_2$ créé par une sphère de centre $O_2$ et de rayon $R_2$, de densité de charge volumique uniforme $\rho_e'$, au point $M$ (dans le cas où $M$ est à l'intérieur de cette seconde sphère). On l'exprimera alors en fonction du vecteur $\overrightarrow{O_2M}$.

Réponse

On peut simplement appliquer le résultat de la question suivante : $\ve_2 = \dfrac{\rho_e'}{3 \epsilon_0} \overrightarrow{O_2M}$

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Question:

En utilisant l'additivité des champ électrostatiques, déterminez le champ réel $\ve$ à l'intérieur de la cavité en fonction de $\ve_1$ et $\ve_2$.

Réponse

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Question:

En déduire le champ électrostatique en tout point $M$ de la cavité et montrez qu'il s'exprime simplement en fonction de $\overrightarrow{O_1O_2}$.

Réponse

La densité de charge est nulle dans la sphère de centre $O_2$. Cette distribution de charge est analogue à la superposition d'une sphère de centre $O_1$ et de densité de charge $\rho_e$ et d'une autre sphère de centre $O_2$ (rayon $R_2$) et de densité de charge $-\rho_e$. Ainsi, l'intérieur de la sphère de centre $O_2$ aura une densité de charge $\rho_e + -(\rho_e) = 0$ (neutre).

Par linéarité des équations de l'électrostatique, on trouve :

$$\begin{aligned} \ve(M) = \ve_1(M) + \ve_2(M) = \dfrac{\rho_e}{3 \epsilon_0} \left( \overrightarrow{O_1M} - \overrightarrow{O_2M} \right) = \dfrac{\rho_e}{3 \epsilon_0} \overrightarrow{O_1O_2} \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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