Frottement fluides

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Un mobile animé initialement d'une vitesse $\vec{v}_0 = v_0 \vec{i}$ constante, pénètre dans un milieu résistant dans lequel il est soumis à une accélération $\vec{a}=-kv^2 \vec{i}$ ; $k$ est une constante et $\vec{v}$ la vitesse instantanée.

Question:

En prenant pour origine des temps et des espaces le moment où le mobile pénètre dans le milieu, établissez la loi donnant $v(t)$ puis vérifiez l'homogénéité du résultat obtenu.

Réponse

Comme le vecteur $\vec{a}$ est de sens opposé à celui du vecteur vitesse $\vec{v}$, on peut plutôt parler de décélération suivant l'axe $Ox$ de vecteur directeur $\vec{i}$. Ainsi, le mobile garde une trajectoire rectiligne.

On peut représenter la situation à différents instants :

On a donc à tout instant $\vec{v}=v(t).\vec{i} \Rightarrow \vec{a}=\dfrac{dv}{dt}.\vec{i}$ et pour $t>0$, $\dfrac{d\vec{v}(t)}{dt}=\vec{a}=-kv^2.\vec{i}$ d'où par identification, $\dfrac{dv}{dt}=-kv^2$.

On est ainsi passé d'une équation vectorielle à une équation scalaire (projection selon $Ox$), reste à l'intégrer.

On peut alors écrire l'équation précédente sous la forme $-\dfrac{dv}{v^2}=kdt$ et par intégration, $\dfrac{1}{v}=kt+C$ où $C$ est une constante.

On détermine ensuite $C$ en utilisant la condition initiale $v(t=0)=v_0 \Rightarrow \dfrac{1}{v_0}=C$ d'où $\dfrac{1}{v}=kt+\dfrac{1}{v_0}=\dfrac{kv_0t+1}{v_0}$ et finalement,

$$\begin{aligned} v=\dfrac{v_0}{1+kv_0t} \end{aligned}$$

Pour vérifier l'homogénéité, il faut commencer par déterminer la dimension de $k$.

On utilise pour cela la relation $\vec{a}=-kv^2\vec{i}$ qui implique $[a]=[k].[v]^2 \Rightarrow [k]=[a][v]^{-2}=L.T^{-2}.(L.T^{-1})^{-2}=L^{-1}$ : inverse d'une longueur.

On a ainsi $[kv_0t]=L^{-1}.L.T^{-1}.T$ sans dimension et l'expression $\dfrac{v_0}{1+kv_0t}$ est bien homogène à une vitesse.

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Question:

En déduire l'équation horaire du mouvement $x(t)$.

Réponse

On en déduit $x(t)$ par intégration $\dfrac{dx(t)}{dt}=v=\dfrac{v_0}{1+kv_0t} \Rightarrow dx=\dfrac{v_0.dt}{1+kv_0t} \Rightarrow x(t)=\dfrac{1}{k}\ln (1+kv_0t)+C'$ où $C'$ est une constante.

À $t=0$, $x=0=\dfrac{1}{k} \ln(1+0)+C' \Rightarrow C'=0$ et finalement

$$\begin{aligned} x(t)=\dfrac{1}{k}\ln (1+kv_0t) \end{aligned}$$

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Question:

Déterminez finalement l'expression de $v(x)$.

Réponse

L'expression de $v(x)$ s'obtient en éliminant $t$ dans les expressions précédentes.

De $x(t)$, on tire $kx=\ln(1+kv_0t) \Rightarrow 1+kv_0t=e^{kx}$ et en réinjectant dans $v(t)$, on obtient $v(x)=\dfrac{v_0}{\exp(kx)} \Rightarrow v(x)=v_0e^{-kx}$.

On remarque que $v$ décroît exponentiellement en fonction de la profondeur dans le matériaux : décroissance exponentielle caractéristique d'un frottement fluide.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard ?