Interférences de Young

Partie: Optique

niveau: PTSI



Une expérience d'interférences d'ondes ultra-sonores est réalisée en plaçant deux émetteurs $E_1$ et $E_2$ côte à côte relié à un même générateur. La fréquence d'émission est égale à kHz, ce qui correspond à une longueur d'onde $\lambda=\text{8,5} mm$. De plus, les sources émettent des ondes en phase.

On note $a=\text{4} cm$ la distance entre les deux émetteurs.

On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon $R=\text{0,5} m$ et on relève l'évolution de l'amplitue mesurée en fonction de l'angle $\theta$ que fait la direction $\overrightarrow{OM}$ avec l'axe $x$.

Question:

Faire une figure pour un angle $\theta$ faible mais non nul. Rajouter sur la figure l'arc de cercle de centre $M$ passant par $E_2$, on note $H$ son intersection avec la droite $(E_1M)$. Que représente $E_1H$ ?

Réponse



$E_1H$ est la différence de distance parcourue par les deux ondes

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Question:

Montrer que les distances $E_1M$ et $E_2M$ peuvent s'écrire :

$$\begin{aligned} E_1M=R\sqrt{1-\dfrac{a\sin\theta}{R}+\dfrac{a^2}{4R^2}} \text{~~et~~} E_2M=R\sqrt{1+\dfrac{a\sin\theta}{R}+\dfrac{a^2}{4R^2}} \end{aligned}$$

Réponse

On utilise pour cela les coordonnées : $E_1M=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$, on développe ensuite en utilisant $\sin^2+\cos^2=1$, puis on factorise par $R^2$.

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Question:

On admet la formule suivante : si $\epsilon\ll 1$, alors $\sqrt{1+\epsilon}\simeq 1+\dfrac{1}{2}\epsilon$. On se place dans le cas où $a\ll R$, montrez que $E_1H\simeq a\sin\theta$ puis en déduire le déphasage entre les ondes reçues en $M$ en fonction de $\theta,a,\lambda$.

Réponse

$E_1H=E_1M-E_2M=R\left (1+\dfrac{a\sin\theta}{2R}+\dfrac{a^2}{8R^2}\right )-R\left (1-\dfrac{a\sin\theta}{2R}+\dfrac{a^2}{8R^2}\right )=a\sin\theta$. Le déphasage est donc $2\pi a\sin\theta/\lambda$

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Question:

Quelles sont, dans l'intervalle $[-30$$, 30$$]$, les valeurs de $\theta$ où on observe un maximum d'amplitude résultante ?

Réponse

Les interférences constructives sont obtenues lorsque l'ordre d'interférence est entier : $p=a\sin\theta/\lambda$ c'est-à-dire $\sin\theta=p\lambda/a$ avec $p$ entier.

 $p$      0   $\pm 1$    $\pm 2$

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$\theta$ 0 $\pm 12$ $\pm 25$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : Vincent Grenard

source(s) : n.a.