Diffusion de méthane dans un gisement

Partie: Thermodynamique

niveau: PT

On considère un gisement de méthane de volume $V$ cylindrique de section $S$ et de longueur $L$ fermé sur sa surface latérale et à l'une de ses extrémités par de la roche imperméable. Le méthane occupe le volume $q V$ où $q$ est la porosité du milieu. On note $P(x,t)$ la pression du méthane et $\mu(x,t)$ sa masse volumique. La température est constante et uniforme et $P(x=0,t)=P_0$ est constante.

La masse de gaz traversant la surface $S$ d'abscisse $x$ pendant la durée $d t$ est proportionnelle au gradient de pression $\delta m =-kS\dfrac{\partial P}{\partial x}d t$ où $k$ est un coefficient dépendant de la viscosité, de la masse volumique du gaz et de la nature du gisement.

Question:

Donner la relation entre $\mu$ et $P$.

Réponse

D'après la relation du GP, on obtient $P = \mu \dfrac{R}{M}T$. Il s'agit d'une relation de proportionnalité car la température $T$ est constante dans le milieu.

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Question:

Déterminer, en fonction de $q$, $S$, $\mu$ et $\mathrm{d}x$, la masse de méthane contenue à la date $t$ dans le volume élémentaire contenu entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$. Montrer que la pression vérifie $D\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}=\dfrac{\partial P}{\partial t}$. Exprimer $D$ en fonction des données.

Réponse

On a simplement $d m = \mu S q \mathrm{d}x = \dfrac{SMq}{RT} P \mathrm{d}x$. On peut ensuite effectuer un bilan de quantité de matière pour ce système :

$$\begin{aligned} d m = - k S dt \dfrac{\partial P}{\partial x}(x) + k S dt \dfrac{\partial P}{\partial x}(x+\mathrm{d}x) = kS \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} dt \mathrm{d}x \end{aligned}$$

On obtient au final en combinant ces deux expressions :

$$\begin{aligned} \dfrac{SMq}{RT} P \mathrm{d}x = kS \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} dt dx \Rightarrow \dfrac{\partial P}{\partial t} = \dfrac{kRT}{Mq} \Delta P \end{aligned}$$

D'où le résultat avec $D=\dfrac{kRT}{Mq}$

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Question:

Dans quelle situation trouve-t-on une équation analogue ?

Réponse

Cette équation est analogue à l'équation de la diffusion de particule. Ou bien la diffusion thermique.

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Question:

Au regard de l'énoncé, que peut-on dire de $\dfrac{\partial P}{\partial x}(L)$

Réponse

La parois est imperméable aux particules donc il ne pourra y avoir de flux et donc la dérivée spatiale de la pression y est nulle.

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Question:

On cherche une solution de la forme $P(x,t)=P_0+P_1\sin (ax)e^{-\dfrac{t}{\tau}}$. Déterminer $\tau$. Déterminer les valeurs possibles de $a$ en fonction de $L$. On prend $a$ égal à sa valeur minimale. Faire l'application numérique pour $\tau$.

Réponse

Il convient d'injecter cette solution dans l'équation précédente :

$$\begin{aligned} -\dfrac{P_1}{\tau} \sin(ax) e^{-t/\tau} = -D P_1 a^2 \sin(ax) e^{-t/\tau} \end{aligned}$$

Cette relation est vérifiée lorsque $\tau = \dfrac{1}{Da^2}$. On doit ensuite déterminer les conditions limites pour trouver $a$. La condition limite en $x=0$ est toujours vérifiée par la solution proposée. Or, on a montré que $\dfrac{\partial P}{\partial r}(L)=0$ et donc $\cos(aL)=0$ soit $aL=\pi/2$ d'où $a=\dfrac{\pi}{2L}$

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Question:

Déterminer la masse $m(t)$ de méthane contenu dans le gisement à la date $t$.

Réponse

on a $\mu = \dfrac{PM}{RT}$ t on peut intégrer cette expression :

$$\begin{aligned} m(t) = \int\limits_0^L \mu(x,t)S \mathrm{d}x = \dfrac{MS}{RT} \int\limits_0^L P_0 + P_1 \sin(ax) e^{-t/\tau} \mathrm{d}x = \dfrac{MS}{RT} \left( P_0 L + \dfrac{2L}{\pi} P_1 e^{-t/\tau} \right) \end{aligned}$$

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Données : $D=\text{3,0e-2} U.S.I.$ ; $q=0,15$ ; $L=\text{5,0} km$ ; masse molaire du méthane $\text{16,0} g \per mol$.

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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