Puit canadien

Partie: Thermodynamique

niveau: PT

Un puit canadien est un échangeur géothermique à très basse énergie utilisé pour rafraîchir ou réchauffer l'air ventilé dans un bâtiment. Ce type d'échangeur est notamment utilisé dans l'habitat passif. (Source : wikipdia).

On donne de plus les données suivantes :

• Conductivité thermique du sol terrestre : $\lambda = \text{0,75} W.m^{-2}.K^{-1}$

• Capacité thermique du sol terrestre : $c=\text{1350} kJ.m^{-3}.K^{-1}$

Question:

A quelle profondeur doit on enterrer une canalisation d'air servant à ventiler une habitation pour la refroidir l'été et la réchauffé l'hiver à moindre frais d'usage.

Il s'agit ici d'un problème libre dont la résolution n'est pas immédiate. Pensez donc effectuer des hypothèses soigneusement justifiées.

Réponse

On suppose une solution sous la forme $T(x,t) = e^{i \omega t} f(x)$ et on aboutie à une équation différentielle simplifiée donc la seule solution ne divergeant pas s'écrit :

$$\begin{aligned} \underline{T}(x,t) = \alpha e^{-\sqrt{c\omega/(2\lambda)}x}e^{i(\omega t -\sqrt{c\omega/(2\lambda)}x)} \end{aligned}$$

On observe donc le comportement d'une onde progressive qui s'atténue lors de sa progression. Il est donc intéressant de placer la canalisation à une demie longueur d'onde du sol : là ou la température est la plus élevée en hiver et la plus froide en été.

$$\begin{aligned} x_p = \dfrac{\pi}{\sqrt{c\omega/(2\lambda)}}\approx \text{7,5} m \end{aligned}$$

avec $\omega = \dfrac{2\pi}{\text{1} an}$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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