Fibre nerveuse

Partie: Electronique

niveau: PT

On considère une chaîne électrique dont on représente une longueur élémentaire ${\rm d} x$, modélisant une fibre nerveuse.

Question:

Déterminer les équations différentielles couplées vérifiées par $u(x,t)$ et $i(x,t)$

Réponse

Pour cet exercice, on ne peut à priori utiliser la méthode des complexes ; il faut donc utiliser les lois de Kirchoff :

$$\begin{aligned} u(x) &= r_a \mathrm{d}x~ i(x) + u(x+\mathrm{d}x) \\ u(x+\mathrm{d}x) &= \dfrac{i_g}{g_m \mathrm{d}x} \text{~~ et ~~} i_c = c_m \mathrm{d}x \dfrac{\partial u}{\partial t}(x+\mathrm{d}x) \\ i(x) &= i(x+ \mathrm{d}x) + i_g + i_c \end{aligned}$$

On obtient bien un système de 4 inconnues ($u,~i,~i_g~$ et $i_g$) et 4 équations donc on peut commencer la résolution pour faire disparaitre $i_c$ et $i_g$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial x} = -r_a i(x) &\Rightarrow \dfrac{\partial u}{\partial x} +r_a i(x) = 0\\ \dfrac{\partial i}{\partial x} = -\dfrac{i_g+i_c}{\mathrm{d}x} = - \dfrac{ g_m \mathrm{d}x u(x+\mathrm{d}x) + c_m \mathrm{d}x \dfrac{\partial u}{\partial t}(x+\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x} &\Rightarrow \dfrac{\partial i}{\partial x} + c_m \dfrac{\partial u}{\partial t} + g_m u =0 \end{aligned}$$

D'où le résultat. (on à remplacé $u(x+\mathrm{d}x)$ par $u(x)$ qui est vrai à l'ordre 0 en $\mathrm{d}x$)

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Question:

En déduire l'équation vérifiée par $u(x,t)$ seulement.

Réponse

On a un système de deux équations couplées à deux inconnues. On peut procéder par substitution en dérivant la première équation par rapport à $x$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + r_a [-c_m \dfrac{\partial u}{\partial t} - g_m u] = 0 \Rightarrow \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - r_ac_m \dfrac{\partial u}{\partial t} - r_a g_m u = 0 \end{aligned}$$

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On envisage dans la suite une solution sous forme d'onde plane progressive monochromatique $\underline u(x,t) = u_0 {\rm e}^{j(\omega t - kx)}$.

Question:

À quelle condition sur $\omega$, $c_m$ et $g_m$ l'équation différentielle vérifiée par $u(x,t)$ se simplifie-t-elle en

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = r_a c_m \dfrac{\partial u}{\partial t} \end{aligned}$$

Réponse

On injecte la solution proposée :

$$\begin{aligned} - k^2 - r_ac_m j \omega - r_a g_m = 0 \Rightarrow k^2 + r_a (jc_m \omega + g_m) \end{aligned}$$

On peut s'affranchir de la conductivité lorsque $g_m \ll c_m \omega$ (ce terme disparait de l'équation de dispersion)

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On supposera cette condition vérifiée par la suite.

Question:

Déterminer la relation de dispersion entre $\omega$ et $k$. Montrer que le milieu est dispersif et absorbant. Que valent les vitesses de phase et de groupe ? Quelle relation lie ces deux grandeurs ?

Réponse

On obtient ainsi $k^2 + j r_a c_m \omega = 0$ On cherche premièrement $v_\phi$ :

$$\begin{aligned} v_\phi = \dfrac{\omega}{k} = j\dfrac{k}{r_a c_m} \end{aligned}$$

Cette vitesse de phase dépend de $k$ donc de $\omega$. Le milieu est donc dispersif. La résolution de cette question montre de plus que $k$ sera complexe donc le milieu est aussi absorbant. On trouve pour la vitesse de groupe :

$$\begin{aligned} v_g = \dfrac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} = \dfrac{ 2 j k}{ r_a c_m} = 2 v_\phi \end{aligned}$$

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Question:

Mettre en évidence une distance caractéristique d'atténuation. Commenter.

Réponse

On a $l \propto \dfrac{1}{|k|} = \dfrac{1}{\sqrt{rc \omega}}$. Ainsi, la longueur caractéristique d'atténuation dépend de la fréquence. Plus cette dernière est élevée et mois le signal se propagera dans la fibre nerveuse. A l'inverse, un signal basse fréquence pourra se propager beaucoup plus loin.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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