Etude énergtique d'une onde se propageant le long d'une corde

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

 On considère une corde de masse linéïque $\mu$ (c'est-à-dire la masse par unité de longueur de corde), on note $u(x,t)$ l'altitude de la corde en $x$ à l'instant $t$. La corde est fixée en $x=0$ et en $x=L$. On considère le mode propre $n$ qui s'exprime de la façon suivante :

$$\begin{aligned} u(x,t)=u_0\sin\left (\dfrac{n\pi x}{L}\right )\sin\left (\dfrac{n\pi ct}{L}\right ) \end{aligned}$$

où $u_0$ est l'amplitude du mode et $c$ la célérité des ondes.

Question:

On note $dE_c$ l'énergie cinétique de la portion de corde comprise entre $x$ et $x+dx$ ($dx$ étant une longueur infiniment faible). Donnez l'expression de $dE_c$

Réponse

$\dfrac{1}{2}dm \, v^2=\dfrac{1}{2}\mu dx \left ( u_0\dfrac{n\pi c}{L}\sin\left ( \dfrac{n\pi x}{L}\right )\cos\left ( \dfrac{n\pi ct}{L}\right )\right )^2$

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Question:

En déduire l'énergie cinétique totale de la corde.

Réponse

$E_c=\int_0^L dE_c$

$$\begin{aligned} E_c=\dfrac{1}{2}\mu \left( u_0\dfrac{n\pi c}{L}\cos\left( \dfrac{n\pi ct}{L} \right) \right) ^2\int_0^L\sin^2\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right) dx \end{aligned}$$

On reconnait $\dfrac{1}{L}\int_0^L\sin^2$ sur un nombre entier de période pour le sinus carré, c'est donc la valeur moyenne donc ça vaut $\dfrac{1}{2}$ d'où :

$$\begin{aligned} E_c=\dfrac{1}{4}\mu u_0^2\dfrac{n^2\pi^2 c^2}{L}\cos^2\left( \dfrac{n\pi ct}{L} \right) \end{aligned}$$

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Question:

Une étude approfondie montrerait que l'énergie potentielle de la portion de corde comprise entre $x$ et $x+dx$ est de la forme :

$$\begin{aligned} dE_p=\dfrac{1}{2}\alpha \left( \dfrac{d u_t(x)}{dx} \right) ^2dx \end{aligned}$$

on dérive ici la fonction uniquement par rapport à $x$ et on pourra donc considérer que $t$ est une constante. $\alpha$ est une constante, montrez qu'elle ($\alpha$) a la dimension d'une force.

Réponse

La dérivée est sans dimension car $u$ et $x$ sont tout les deux des longueurs. On en déduit [$E_p$]=[$\alpha$].L. Or une énergie est une force fois une longueur (d'après l'expression du travail) donc $\alpha$ a bien la dimension d'une force.

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Question:

En déduire l'énergie potentielle totale de la corde.

Réponse

 On intègre comme avant et de même $\left < \cos^2\right >=\dfrac{1}{2}$ :

$$\begin{aligned} E_p=\dfrac{\alpha n^2\pi^2u_0^2}{4L}\sin^2\left( \dfrac{n\pi ct}{L} \right) \end{aligned}$$

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Question:

En utilisant la conservation de l'énergie de la corde, exprimez $\alpha$ en fonction de la vitesse de propagation et de la masse linéïque.

Réponse

$E_m$ est de la forme $A\cos^2\omega t+B\sin^2\omega t$. Si $A$ et $B$ ne sont pas égaux, alors l'énergie n'a pas la même valeur quand $\omega t=0$ ou $\omega t=\dfrac{\pi}{2}$ donc (raisonnement par l'absurde) nécessairement $A=B$. D'où :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{4}\mu u_0^2\dfrac{n^2\pi^2 c^2}{L}=\dfrac{\alpha n^2\pi^2u_0^2}{4L} \end{aligned}$$

donc $\alpha=\mu c^2$

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Question:

Exprimez l'énergie mécanique totale de la corde, comment dépend-t-elle du mode considéré ?

Réponse

Dans ce cas, on a simplement $E_m=\dfrac{1}{4}\mu u_0^2\dfrac{n^2\pi^2 c^2}{L}$, qui croit comme le numéro du mode au carré

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Question:

Calculez $dE_m$ l'énergie mécanique d'une portion de corde de longueur $dx$, pourquoi cette énergie dépend du temps contrairement à celle de la corde ?

Réponse

$$\begin{aligned} dE_m=\dfrac{1}{2}\mu \dfrac{n^2\pi^2c^2}{L^2}dx\left( \sin^2\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right) \cos^2\left( \dfrac{n\pi ct}{L} \right) +\cos^2\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right) \sin^2\left( \dfrac{n\pi ct}{L} \right) \right) \end{aligned}$$

ne se conserve pas car échange entre les différents morceaux de corde.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : Vincent Grenard

source(s) : n.a.