Circuit RSF en //

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère un circuit $RLC$ parallèle en régime sinusoïdal forcé.

Question:

Exprimez l'admittance complexe $\underline{Y}$ de ce circuit.

Réponse

On peut directement utiliser la loi d'association des admittances en parallèle :

$\underline{Y}=\dfrac{1}{R}+\underline{Y}_C+\underline{Y}_L$ soit ici :

$\underline{Y}=\dfrac{1}{R}+j(C\omega-\dfrac{1}{L\omega})$.

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Question:

Mettez $\underline{Y}$ sous la "forme réduite" en l'exprimant uniquement en fonction de $R$, $Q$ (facteur de qualité) et $u$ (pulsation réduite) avec :

$$\begin{aligned} Q=RC \omega_0=\dfrac{R}{L\omega_0}=R\sqrt{\dfrac{C}{L}} \qquad \text{ et } \qquad u=\dfrac{\omega}{\omega_0}=\omega\sqrt{LC} \end{aligned}$$

Réponse

En introduisant $Q=RC \omega_0=\dfrac{R}{L\omega_0}=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ et $u=\dfrac{\omega}{\omega_0}=\omega\sqrt{LC}$, on peut écrire

$\underline{Y}=\dfrac{1}{R}[1+j(RC\omega-\dfrac{R}{L\omega})]$ avec $RC=\dfrac{Q}{\omega_0}$ et $\dfrac{R}{L}=Q\omega_0$ d'où $\underline{Y}=\dfrac{1}{R}[1+j(Q\dfrac{\omega}{\omega_0}-Q\dfrac{\omega_0}{\omega})]=\dfrac{1}{R}[1+jQ(u-\dfrac{1}{u})]$

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Question:

En déduire l'impédance complexe $\underline{Z}$ en fonction des mêmes variables réduites. Étudiez les variations du module de $\underline{Z}$ en fonction de la fréquence. On montrera la présence d'un maximum que l'on précisera. Trouvez les deux valeurs $u_1$ et $u_2$ pour lesquelles $|\underline{Z}|=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$.

Réponse

On en déduit alors l'impédance complexe $\underline{Z}=\dfrac{1}{\underline{Y}}=\dfrac{R}{1+jQ(u-\dfrac{1}{u})}$ et son module $|\underline{Z}|=\dfrac{R}{\sqrt{1+Q^2(u-\dfrac{1}{u})^2}}$

$|\underline{Z}|$ est maximale lorsque le dénominateur est minimum, c'est à dire pour $u=1$, on a alors $|\underline{Z}|=R$.

$|\underline{Z}|=R/\sqrt{2}$ lorsque $1+Q^2(u-\dfrac{1}{u})^2=2$ c'est à dire en $u_1=-\dfrac{1}{2Q}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4Q^2}}$ et $u_2=\dfrac{1}{2Q}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4Q^2}}$ (racines positives, Cf. cours).

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Question:

Montez que $|u_2-u_1|=\dfrac{1}{Q}$. À la fréquence de résonance, quelle est l'impédance simple équivalente du circuit ?

Réponse

On vérifie que $|u_2-u_1|=|\dfrac{1}{2Q}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4Q^2}}-(-\dfrac{1}{2Q}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4Q^2}})|=\dfrac{1}{Q}$ : la bande passante est moins large quand le facteur de qualité est élevé. À la fréquence de résonance $f=f_0 \iff u=1$ le circuit est équivalent à un résistor de résistance $R$.

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Question:

Que se passe-t-il loin de la fréquence de résonance ?

Réponse

Pour $f \gg f_0$, $\underline{Z} \simeq \dfrac{1}{jC\omega}$ il est purement capacitif et pour $f \ll f_0$, $\underline{Z} \simeq jL\omega$, il est purement inductif.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : inventé