Voiture et frottements

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Une voiture de masse $m$, qu'on assimilera à son centre de masse $M$, atteint sur une route horizontale la vitesse maximale de module $v_m$ quand la puissance du moteur est $\mathcal{P}$ (force motrice $\vec{F}_M$). Les frottements de l'air sur le véhicule sont équivalents à une force horizontale de module $F_a=mC_xv^2$, expression dans laquelle $v$ est le module de la vitesse et $C_x$ une constante caractéristique du véhicule.

On donne $v_m=\text{160} km.h^{-1}$, $\mathcal{P}=\text{92} kW$ et $m=\text{1000} kg$ .

Question:

Exprimez puis calculer la constante $C_x$.

Réponse

PFD avec $\vec{a}=0 \Rightarrow F_m=F_a \Rightarrow C_x=\dfrac{\mathcal{P}}{mv_m^3}=10^{-3}$ m$^{-1}$.

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Question:

Établissez l'expression $mv\dfrac{dv}{dt}=\mathcal{P}(1-\dfrac{v^3}{v_m^3})$.

Réponse

TEC

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Question:

En déduire la distance $x$ parcourue en fonction de la vitesse. On supposera qu'à la date $t=0$, le véhicule est en $x=0$ sans vitesse initiale et que la puissance du moteur est constante.

Réponse

$x=-\dfrac{1}{3C_x}\ln (1-\dfrac{v^3}{v_m^3})$. On retrouve ce résultat en utilisant la méthode de séparation des variables sur l'équation précédente ( multipliée par $v$. On utilise $v \mathrm{d}t = \mathrm{dx}$ pour intégrer d'un côté selon $x$ et de l'autre selon $v$.

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Question:

Après quel parcours $x_1$ le véhicule atteint-il sa vitesse maximale à $\beta=1$ % près ?

Réponse

$x_1=\text{1168} m$.

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Le véhicule se déplaçant à la vitesse maximale, on coupe le moteur à l'instant $t'=0$.

Question:

Exprimez le module de la vitesse $v(t')$.

Réponse

$v(t')=\dfrac{v_m}{1+C_xv_mt'}$.

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Question:

Quelle est la distance parcourue $y(t')$ ; on posera $y(t'=0)=0$.

Réponse

$y(t')=\dfrac{1}{C_x} \ln (1+C_xv_mt')$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : L'essentiel de la Méca ; Ellipse.