Régulateur de Foucault

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Un point $P$ de masse $m$ est accroché à un fil sans masse enroulé autour d'un cylindre de moment cinétique négligeable (il suffit pour cela de négliger sa masse) et de rayon $R$ tournant librement autour de son axe $Ox$ fixe et horizontal. La chute de $P$ entraîne la rotation du cylindre.

Ce cylindre, muni d'ailettes, est soumis à la résistance de l'air que l'on modélisera par un moment de frottement total $\vec{\Gamma}_f=-\lambda \vec{\omega}$ où $\omega=\dot{\theta}$ est la vitesse angulaire du cylindre. Le système est abandonné sans vitesse initiale.

Question:

Donnez la relation qui lie $T$ l'intensité de la tension du fil en fonction de\ l'accélération $\ddot{z}$ de $P$.

Réponse

On commence par appliquer le principe fondamental de la dynamique (PFD) au point $P$.

Ce dernier n'est soumis qu'à son poids $\vec{p}=m\vec{g}=+mg\vec{e}_z$ et à la tension du fil $\vec{T}$ sur la figure.

Son accélération est alors $\vec{a}=\ddot{z}.\vec{e}_z$ telle que $m\vec{a}=\vec{p}+\vec{T}$ et par projection selon $\vec{e}_z$, on aboutit à $m\ddot{z}=mg-T \Rightarrow T=m(g-\ddot{z})$.

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Question:

Déterminez l'expression de $\omega(t)=\dot{\theta}(t)$ en appliquant le théorème\ du moment cinétique au système { cylindre }.

Réponse

Les forces appliquées au cylindre sont :

la tension $-\vec{T}$ du fil de bras levier est $R$. La projection selon $Ox$\ de son moment est $\mathcal{M}_{Ox}(\vec{T})=+TR=m(g-\ddot{z})R$.

la résultante des forces de frottement $\vec{f}$ dont la projection du moment\ est $\Gamma_{Ox}=-\lambda \vec{\omega}.\vec{e}_x$ où le vecteur rotation $\vec{\omega}=\dot{\theta}.\vec{e}_x$ soit $\Gamma_{Ox}=-\lambda \dot{\theta}$

la réaction $\vec{R}$ de l'axe $Ox$, de bras de levier nul d'où $\mathcal{M}_{Ox}(\vec{R})=0$

Remarque : on ne doit pas considérer $\vec{p}$ qui n'est pas appliqué au cylindre.\ Par contre, la présence de $P$ se traduit par l'apparition de $\vec{T}$ en $I$.

Le moment cinétique du cylindre est négligé (car sa masse est nulle) et par\ application du théorème scalaire du moment cinétique,

$$\begin{aligned} \dfrac{dL_{Ox,\text{cyl}}}{dt}=\mathcal{M}_{Ox}(\vec{T})+\Gamma_{Ox}+\mathcal{M}_{Ox}(\vec{R}) \Rightarrow 0=m(g-\ddot{z})R-\lambda \dot{\theta}+0=0 \end{aligned}$$

Pour se ramener à une équation en $\theta$, il faut éliminer $\ddot{z}$. Pour cela, on utilise l'hypothèse du fil inextensible : tous les points du fil ont la même vitesse au même instant.

Ceux qui sont encore au contact du cylindre ont une vitesse $R\dot{\theta}$ (mouvement circulaire) alors que les autres ont la même vitesse que $P$, c'est à dire $\dot{z}$. On en déduit $\dot{z}=R.\dot{\theta} \Rightarrow \ddot{z}=R.\ddot{\theta}$ et en remplaçant dans l'équation

$$\begin{aligned} mgR-mR^2\ddot{\theta}-\lambda \dot{\theta}=0 \Rightarrow \ddot{\theta}+\dfrac{\lambda}{mR^2}\dot{\theta}=\dfrac{g}{R} \Rightarrow \dfrac{d\omega}{dt}+\dfrac{\omega}{\tau}=\dfrac{g}{R} \end{aligned}$$

avec $\omega=\dot{\theta}$ et $\tau=\dfrac{mR^2}{\lambda}$. On reconnaît une équation différentielle du premier ordre, à cœfficients constants et dont la solution est de la forme $sol=sol_H+sol_P$ avec $sol_H=A\exp(-\dfrac{t}{\tau})$ et $sol_P=Cte=\dfrac{\tau g}{R}=\dfrac{Rmg}{\lambda}=\omega_\text{lim}$ ici. D'où $\omega=A\exp(-\dfrac{t}{\tau})+\omega_\text{lim}$ et en utilisant la condition initiale $\omega(0)=0$, on en déduit finalement

$$\begin{aligned} \omega=\dfrac{Rmg}{\lambda}(1-\exp(-\dfrac{t}{\tau}))=\omega_\text{lim}(1-\exp(-\dfrac{t}{\tau})) \end{aligned}$$

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Question:

Retrouvez l'équation sur $\omega$ en considérant cette fois le système { masse + fil + cylindre }.

Réponse

En considérant à présent le système { masse + fil + cylindre }, la résultante des forces appliquées est $\vec{F}=\vec{p}+\vec{T}-\vec{T}+\vec{f}+\vec{R}=\vec{p}+\vec{f}+\vec{R}$ il n'est donc plus nécessaire de calculer $\vec{T}$ dans un premier temps.

Par contre, le moment cinétique du système est la somme du moment cinétique du cylindre (nul) et du moment cinétique de $P$ : $L_{Ox}(P)=+mRv=mR\dot{z}=mR^2\dot{\theta}$.

Par application du théorème scalaire du moment cinétique,

$$\begin{aligned} \dfrac{dL_{Ox,\text{cyl et $P$}}}{dt}=\mathcal{M}_{Ox}(\vec{p})+\Gamma_{Ox}+\mathcal{M}_{Ox}(\vec{R}) \Rightarrow mR^2\ddot{\theta}=+mgR-\lambda \dot{\theta}+0=0 \end{aligned}$$

On retrouve bien la même équation.

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Question:

Quel est l'interet physique d'un tel système ?

Réponse

Ce système permet, après un régime transitoire de durée 4 à 5 $\tau$ d'obtenir $\omega$ constant. On peut retrouver ce genre de dispositif en horlogerie ou dans des boites à musique.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard