Champ $\vec B$ variable dans un solénoïde

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

On considère un solénoïde long, de rayon $a$, d'axe $Oz$ et comportant $n$ spires par unité de longueur, à l'intérieur duquel règne un champ magnétique $\vec{B}=B_0e^{-\dfrac{t}{\tau}}\vec{u_z}$ et on s'intéresse à une section de celui-ci de longueur $l$. On supposera dans tout l'exercice que l'on se place dans le cadre de l'ARQS.

Question:

Déterminer le courant $i(t)$ parcourant le solénoïde pour créer un tel champ.

Réponse

On a d'après le cours $B = \mu_0 n i$ (valable dans le cadre de l'ARQS). On en déduit : $i = \dfrac{B}{\mu_0 n}$

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Question:

Montrer que le champ $\vec E$ associé peut se mettre sous la forme $\vec{E}(r,t)\vec{e}_{\theta}$

Réponse

En utilisant les symétries du problème, on remarque que $\vec E(r,\theta z) = \vec E(r)$. De plus, pour un point $M$ quelconque de coordonnées $r,\theta z$, le plan $O,\vec e_r, \vec e_z$ est un plan d'anti-symétrie donc $\vec E = E \vec e_\theta$ soit au final $\vec E = E(r) \vec e_{\theta}$ .

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Question:

A l'aide de la formulation intégrale de l'équation de , retrouver l'expression de ce champ électrique.

Réponse

On $\overrightarrow{rot} \vec E = - \dfrac{\partial \vec B}{\partial t}$. On peut intégrer cette relation sur une surface de rayon $r$ appuyée sur une des spires pour obtenir :

$$\begin{aligned} &\iint_S \overrightarrow{rot} \vec E = \oint_C \vec E(r) \cdot r \vec e_{\theta} d\theta = - \iint_S \dfrac{B(t)}{\tau} \cdot dS \\ \Rightarrow ~~~& E(r) 2\pi r = - \dfrac{B(t)}{\tau} \pi r^2 \text{~~~pour $r<a$} \\ \Rightarrow ~~~& E(r) 2\pi r = - \dfrac{B(t)}{\tau} \pi a^2 \text{~~~pour $r\ge a$} \end{aligned}$$

On en déduit pour $E(r<a) = -\dfrac{rB(t)}{2\tau}$ et $E(r \ge a) = -\dfrac{a^2B(t)}{2r\tau}$.

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Question:

Quelle est la chute de tension associée à ce champ électrique pour une spire.

Réponse

On a par définition du potentiel électrique $E(a) \vec e_\theta =-\dfrac{1}{a} \dfrac{\partial V}{\partial \theta}$ d'où l'on déduit $V(\theta) = - \theta a E(a)$. La chute de potentielle associée pour une spire vaut donc :

$$\begin{aligned} \Delta V = - 2\pi a E(a) = \dfrac{\pi}{\tau} a^2 B(t) \end{aligned}$$

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Question:

En déduire l'inductance propre d'une couche d'épaisseur $l$ de ce solénoïde.

Réponse

Pour une épaisseur $l$, on obtient :

$$\begin{aligned} \Delta V_l = nl \Delta V = - n l \pi a^2 \dfrac{\partial B}{\partial t} = - n^2 l \pi a^2 \mu_0 \dfrac{\partial i}{\partial t} \end{aligned}$$

soit par identification $L = \mu_0 n^2 l S$. On retrouve bien le résultat du cours.

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Question:

Calculer ensuite le rapport $\mu$ des densités volumiques d'énergies électrique et magnétique en $r=a$.

Réponse

La densité d'énergie électrique en $r=a$ vaut $\dfrac{\epsilon_0 E^2}{2} = \dfrac{\epsilon_0 a^2 B^2}{8 \tau^2}$. De plus, le la densité d'énergie du champ magnétique vaut $\dfrac{B^2}{2 \mu_0} = \dfrac{\epsilon_0 c^2 B^2}{2}$. Leur rapport vaut donc :

$$\begin{aligned} \dfrac{e_E}{e_B} = \dfrac{\epsilon_0 a^2 B^2}{8 \tau^2} \times \dfrac{2}{\epsilon_0 c^2 B^2} = \left( \dfrac{a}{2c \tau} \right) ^2 \end{aligned}$$

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Question:

Faire l'application numérique avec $a=\text{10} cm$ et $\tau=\text{1,0} ms$. Conclure.

Réponse

L'AN donne un rapport d'environ $10^{-14}$. Toute l'énergie est donc bien stockée sous forme magnétique.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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