Distribution d'eau

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

Un château d'eau de hauteur $h=25~m$, alimente un village en eau potable. On rappelle que l'eau a une masse volumique $\mu_0 = \text{1,0e3} kg.m^{-3}$ et une viscosité dynamique $\eta=\text{1,0e-3} Pl$.

Question:

Quelle est la pression $P_e$ qui peut être attendue au pied du château d'eau, en admettant que le débit d'eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas perturber la pression ?

Réponse

Statique des fluides : $P_e = P_0 + \mu_0 gh = \text{3,5} bar$

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Question:

Soit une conduite cylindrique de longueur $L=100~m$ et de rayon $R=1,0~cm$ partant du pied de ce château d'eau. L'autre extrémité est à l'air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant a priori l'écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante $U$.

Réponse

Question complexe, il faut réaliser un bilan sur un cylindre de rayon $r<R$ en y appliquant le PFD (ne pas oublier les forces de viscosité ! Quantité de mouvement constante). On obtient ensuite :

$$\begin{aligned} \vec v(r) = \dfrac{(P_e-P_s)(R^2-r^2)}{4L\eta} \vec e_z \end{aligned}$$

On obtient ensuite le débit en intégrant : $D_V = \iint \vec v(r) 2\pi rdr \vec e_z = \dfrac{\pi(P_e-P_s)R^4}{8L\eta}$. Les A.N.s. donne $D_V=\text{0,0098} m^3.s^{-1}$ et $U=D_V/S = /SI{31}{m.s^{-1}}$

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Question:

Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement et conclure.

Réponse

On trouve $R_e = \dfrac{\mu_0 (2R) U}{\eta} \approx 6~10^{5} \gg 2000$. L'écoulement est donc turbulent et les résultats précédant ne sont plus valables

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Question:

Dans une maison, on souhaite obtenir des débits assez importants pour remplir par exemple une baignoire. Dans certaines maisons anciennes, on n'obtient pas satisfaction, on dit qu'on manque de pression. Qu'est-il préférable de faire pour obtenir un débit plus important ?

Réponse

Pour augmenter le débit, on peut poser des tuyaux de plus grand rayon. Dans une maison ancienne, il est à craindre que des dépôts calcaires aient réduit la section de la canalisation et aient rendu moins lisse sa surface, augmentant ainsi l'effet de baisse de pression.

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On considère un écoulement turbulent dans la canalisation. Le champ des vitesses est donné par la formule :

$$\begin{aligned} \vec v = V_{\rm max} \left( 1-\dfrac{r}{R} \right) ^{\dfrac{1}{n}} \vec e_z \end{aligned}$$

$n$ étant une constante qui dépend du nombre de Reynolds.

Question:

Montrer que le débit volumique dans la conduite vaut $D_V =\dfrac{2\pi V_{\rm max} n^2 R^2}{(n+1)(2n+1)}$

Réponse

On obtient le résultat attendu à l'aide d'une intégration par partie.

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Question:

Exprimer le rapport de la vitesse débitante $U$ à la vitesse max $V_{\rm max}$. Réaliser une application numérique pour $n=6$ puis $n=10$. Comparer à celui obtenu dans le cas de l'écoulement de Poiseuille cylindrique.

Réponse

pour $n=6$, on a $U/V_{\rm max} = 0,79$ et pour $n=10$, on a $U/V_{\rm max} = 0,87$ (profil de vitesse plus plat). (on trouve un ration de $1/2$ pour l'écoulement de poiseuille).

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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