Étude d'une comète

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Dans le référentiel Héliocentrique, on considère le mouvement d'une comète et celui de la Terre. La masse du Soleil sera notée $M_0$. La trajectoire de la Terre est supposée circulaire de rayon $r_0$.

Question:

Calculez, en fonction de $M_0$, $r_0$ et $\mathcal{G}$ (la constante de gravitation), la vitesse $v_0$ de la Terre sur son orbite ainsi que sa période de rotation $T_0$.

Réponse

Par un calcul classique (PFD sur la Terre soumis à la force de gravitation due au Soleil ou par une méthode énergétique), on obtient $v_0=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}M_0}{r_0}}$ et comme le mouvement est circulaire uniforme, $T_0=\dfrac{2\pi r_0}{v_0}$.

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Question:

La trajectoire de la comète est coplanaire à celle de la Terre, sa distance au périgée est $\dfrac{r_0}{2}$ et sa vitesse maximale est alors $2v_0$. Préciser la forme de la trajectoire de la comète (elliptique, parabolique ou hyperbolique). On rappelle que l'expression de la forme générale d'une conique est :

$$\begin{aligned} r(\theta) = \dfrac{p}{1+e\cos(\theta)} \end{aligned}$$

Exprimez la vitesse de la comète en fonction de la distance $r$ qui la sépare du soleil.

Réponse

Pour préciser la nature de la trajectoire de la comète, on calcule son énergie mécanique.

Comme elle est constante, on peut la déterminer en se plaçant à n'importe quel point et comme l'énoncé précise $r$ et $v$ au périastre ($r=\dfrac{r_0}{2}$ ; $v=2v_0=2\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}M_0}{r_0}}$), on obtient en utilisant le résultat précédent :

$$\begin{aligned} E_m=E_c+E_p =\dfrac{1}{2}m(2v_0)^2-\dfrac{\mathcal{G}mM_0}{r_0/2} =\dfrac{2\mathcal{G}mM_0}{r_0}-\dfrac{2\mathcal{G}mM_0}{r_0} =0 \end{aligned}$$

ce qui signifie qu'on a affaire à une trajectoire parabolique (d'où le titre de l'exercice).

Comme à tout instant $E_m=0=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{\mathcal{G}mM_0}{r}$, on a $v=\sqrt{\dfrac{2\mathcal{G}M_0}{r}}$.

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Question:

L'orbite de la comète croise celle de la Terre en deux points $A$ et $B$. Montrez que $AB$ est un diamètre de l'orbite terrestre.

Réponse

La trajectoire est parabolique, son excentricité est donc égale à 1 et $r=\dfrac{p}{1+1 \times \cos \theta}$.

De plus, on sait que $r$ minimum (valeur de $r$ quand $\theta=0$) est égal à $\dfrac{r_0}{2}$ d'où $\dfrac{r_0}{2}=\dfrac{p}{1+1}$ et $p=r_0$.

Finalement, l'équation polaire de la trajectoire de la comète est $r=\dfrac{r_0}{1+\cos \theta}$.

L'orbite de la comète croise celle de la Terre (rayon $r_0$) quand $r=r_0$, c'est à dire pour $\theta=\pm \dfrac{\pi}{2}$ ce qui veut dire que les points $A$ et $B$ d'intersection de l'orbite de la comète avec celle de la Terre sont diamétralement opposés : $AB$ est bien un diamètre de l'orbite terrestre.

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Question:

Quel est le temps $\tau$ passé par la comète à l'intérieur de l'orbite terrestre en fonction de $T_0$ ? Ce temps donne un ordre de grandeur de la durée de visibilité à l'œil nu de la comète depuis la Terre. On donne $\int_{-\dfrac{\pi}{2}} ^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{d\theta}{(1+\cos \theta)^2}=\dfrac{4}{3}$

Réponse

La force de gravitation étant centrale, on a conservation du moment cinétique de la comète par rapport au centre du Soleil et la loi des aires est respectée : $L_0=Cte \Rightarrow r^2\dot{\theta}=\dfrac{r_0}{2}.2v_0$ (valeur en $\theta=0$) soit $\dot{\theta}=\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{r_0v_0}{r^2}$ d'où $dt=\dfrac{r^2}{r_0v_0}d\theta$ avec $r=\dfrac{r_0}{1+\cos \theta}$.

Or, $\tau$, la durée pendant laquelle la comète est située à $r<r_0$ correspond à $-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ d'où

$$\begin{aligned} \tau=\int_{\theta=-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{r_0d\theta}{v_{0}(1+\cos \theta)^2}=\dfrac{2T_0}{3\pi} \simeq 77,5 \text{ jours.} \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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